Teil V: Komplexe Systeme

Nach der Behandlung des Wasserstoffatoms hört die Quantenmechanik endgültig damit auf, »einfach« zu sein, was aber nicht bedeutet, dass man über komplexere Systeme keine Aussagen machen kann.

Wenn man es mit mehr als zwei Teilchen oder gar einer Vielzahl von Teilchen zu tun hat, dann ist es unmöglich, exakte Lösungen zu bestimmen, da die Physik und damit vor allem auch die Mathematik beliebig kompliziert wird. Allerdings gibt es verschiedene Möglichkeiten, um auch weiterhin wichtige Erkenntnisse zu gewinnen. Man betrachtet in diesem Fall Systeme nur unter bestimmten Aspekten und verzichtet auf den Versuch, exakte, vollständige Lösungen zur Beschreibung zu finden. Eine Möglichkeit besteht beispielsweise darin, Teilchen in folgende Gruppen zu unterteilen:

Unterscheidbare Teilchen

Identische (ununterscheidbare) Teilchen

Wenn man ein Viel-Teilchen-System aus unterscheidbaren Teilchen betrachtet, stellt sich zunächst die Frage nach der Wechselwirkung zwischen diesen Teilchen. Kann man diese vernachlässigen, so bedeutet das, dass man ein System aus N wechselwirkungsfreien Teilchen untersucht. In diesem Fall ist die Wellenfunktion das Produkt aus den N Einteilchen-Wellenfunktionen, der zugehörige Energieeigenwert ist die Summe aus den Einteilchen-Energien.

Betrachtet man dagegen identische, d. h. ununterscheidbare Teilchen, so ist die Situation komplizierter. In diesem Fall kann man das Viel-Teilchen-System mithilfe des Permutations- oder Austauchoperators P_ij untersuchen, der die Teilchen i und j miteinander vertauscht. Da zweimaliges Anwenden zum Ausgangszustand zurückführt, gilt P_ij² = 1; somit hat der Austauschoperator P_ij die möglichen Eigenwerte +1 und –1, wenn eine Wellenfunktion eine Eigenfunktion von P_ij ist. Bei der weiteren Untersuchung zeigt sich, dass es zwei Arten von Eigenfunktionen des Austauschoperators gibt:

Die Wellenfunktion ψ ist symmetrisch bei Teilchenaustausch; das bedeutet: .

Die Wellenfunktion ψ ist antisymmetrisch bei Teilchenaustausch; das bedeutet: .

Dieser Symmetriecharakter eines Systems in eine Erhaltungsgröße. Das bedeutet, dass ein Viel-Teilchen-System bei Teilchenaustausch in jedem Fall entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist und diese Eigenschaft auch immer beibehält.

Ob ein System identischer Teilchen symmetrisch oder antisymmetrisch ist, hängt von der Natur der Teilchen ab. Wie Wolfgang Pauli zeigen konnte, besteht ein Zusammenhang zwischen Spin und Symmetriecharakter:

Teilchen mit halbzahligem Spin haben antisymmetrische Wellenfunktionen; sie heißen Fermionen.

Teilchen mit ganzzahligem Spin haben symmetrische Wellenfunktionen; sie heißen Bosonen.

Das ist von großer Bedeutung für die gesamte Quantenphysik und führt schließlich zum Pauli-Prinzip, das am Ende von Kapitel 11 erläutert wird. Wie Sie sehen, bietet die Quantenmechanik erheblich mehr als die Lösung der Schrödinger-Gleichung!

Völlig andere Ansätze machen die Störungs- und die Streutheorie. Die Störungstheorie beschäftigt sich mit der Frage, was passiert, wenn ein Teilchen ein zusätzliches Potential erfährt, etwa ein elektrisches oder magnetisches Feld. Dieses muss natürlich im Hamilton-Operator berücksichtigt werden, so dass die Schrödinger-Gleichung in den meisten Fällen unlösbar ist. In der Störungstheorie geht man davon aus, dass die durch das zusätzliche Feld hervorgerufene Änderung der Energieeigenwerte nur klein ist, und versucht, die genauen Werte durch ein iteratives Verfahren anzunähern.

Die Streutheorie betrachtet schließlich zwei Teilchen, die sich aufeinander zu bewegen, wechselwirken und sich dann wieder voneinander entfernen. Ziel der Streutheorie ist es vorauszusagen, in welche Richtung sich die Teilchen nach der Wechselwirkung fortbewegen.