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Universos inesperados: el período Rococó

Como ocurre en una estación de esquí con chicas buscando marido y maridos buscando chicas, la situación no es tan simétrica como podría parecer.

Alan Mackay

Universos fractales

La grandeza o la infinitud del […] cosmos no agregaron nada más. Fue como decirle a un preso de la cárcel de Reading que estaría satisfecho de saber que la cárcel ocupaba ahora la mitad del país.

Gilbert K. Chesterton^[127]

A lo largo de los años 1920, la teoría de Einstein condujo a la creación de la moderna materia de la cosmología, el estudio de universos enteros. De hecho, los universos se estaban haciendo tan comunes como los autobuses de la línea 12. Y sin embargo, al mismo tiempo, algunos científicos luchaban en la retaguardia, intentando convencer a Einstein de que describir los universos utilizando la antigua teoría de Newton no era una imposibilidad, como Einstein había afirmado.

La principal dificultad era el problema de arreglárselas con un espacio infinito uniformemente lleno de materia. O bien toda la materia del universo debía quedar confinada a una gran isla de masa finita o la famosa ley del cuadrado inverso de Newton para la disminución de la fuerza de gravedad con la distancia debía de fallar más allá de una gran distancia. ¡En un universo infinito de densidad constante, se puede «demostrar» que la fuerza gravitatoria que se debe sentir por toda la materia del universo puede ser igual a cualquier cantidad!^[128]. Sin duda, algo no iba bien.

A finales del siglo XIX, muchos modelos cosmológicos, como el universo de Schwarzschild de topología esférica que ya hemos mencionado, habían lidiado con esta paradoja. En 1907, el científico irlandés Edmund Fournier d’Albe (1868-1933) publicó un fascinante librito para un público amplio titulado Dos nuevos mundos, en el que sugería que sería natural pensar que el universo tenía una estructura jerárquica, desde los átomos a los sistemas solares y más allá, sin límite^[129]. En efecto, en esta imagen, el universo astronómico contenía cúmulos de cúmulos de cúmulos… ad infinitum, una imagen que se había sugerido antes en los trabajos de Wright, Kant y Lambert. También lo recreó de forma impresionista el gran escritor americano Edgar Allan Poe, en su poema en prosa de 1848 «Eureka», que hablaba del universo como una serie interminable de «cúmulos de cúmulos», cada uno de ellos con leyes distintas y sin contacto con nosotros^[130].

Una de las motivaciones de Fournier d’Albe era ofrecer solución al problema de formular un modelo del universo con masa infinita. Aunque sus ideas no eran convencionales, se lo tomaron bastante en serio. Fournier d’Albe era experto en electricidad y magnetismo y, en 1923, fue el responsable de la transmisión de la primera imagen de televisión (del rey Jorge V) desde Londres; también inventó el optófono, que permitía «ver» a los ciegos mediante la conversión de las señales ópticas en sonido.

Un astrónomo sueco, Carl Charlier (Figura 4.1), leyó con especial entusiasmo el libro de Fournier d’Albe. Charlier lo utilizó para desarrollar una imagen más elaborada de un universo newtoniano capaz de evitar las paradojas provocadas por el espacio infinito. Charlier introdujo una descripción matemática de una jerarquía interminable de cúmulos (Figura 4.2), organizados de forma que la densidad media del universo infinito ¡era cero^[131]! De esta forma se resolvía el antiguo problema de explicar por qué el cielo era oscuro por la noche: la contribución integrada de todas las estrellas en esta jerarquía infinita era insignificante.

FIGURA 4.1. Carl Charlier (1862-1934).

El modelo de cúmulos desarrollado por Charlier fue la primera aplicación en ciencia de lo que más adelante pasó a conocerse como distribución «fractal», desde que Benoît Mandelbrot introdujera este término en 1972 para describir patrones que se copian a sí mismos repetidamente a escalas cada vez mayores. Este diseño se puede hallar en toda la naturaleza, y ofrece una forma simple de comprender la ramificación de los árboles o el patrón del sistema metabólico humano. La selección natural ha favorecido la aparición de agrupaciones fractales en todas las situaciones en las que supone un beneficio el desarrollo de una superficie grande (para la absorción de nutrientes, por ejemplo) con un mínimo volumen y peso (Figura 4.3).

FIGURA 4.2. Una distribución fractal con tres niveles de agrupación jerárquica. Cada bloque representa una «galaxia», agrupada en «cúmulos» mayores de ocho bloques que, a su vez, están agrupados en un único bloque «supercúmulo». Este proceso puede proseguir en escalas superiores e inferiores, sin límite.

El universo de Charlier era en realidad una extensión del principio copernicano empleado por Einstein para simplificar modelos del universo: presenta el mismo patrón de agrupación en cualquier escala en que se lo examine. Su modelo estaba construido de un modo cuidadoso. A pesar de ser infinito en volumen, la materia agrupada se extendía sin límite y no estaba confinada a una isla finita. La acumulación se iba apagando lo bastante rápido como para que la luz integrada de todas las estrellas no hiciera que el cielo fuese siempre brillante^[132], la fuerza gravitatoria que actuaba en cada punto fuese también finita y las velocidades a las que las estrellas se movían por acción de la gravedad se mantuviesen pequeñas en todas las escalas de agrupación^[133].

FIGURA 4.3. La distribución fractal del sistema de bronquios en los pulmones humanos. La tráquea se ramifica en tubos, o bronquios, cada vez menores para maximizar la superficie expuesta al paso del aire con un volumen total pequeño.

Este tipo de escenario cosmológico, que eludía los problemas de utilizar la teoría de Newton en un universo infinito y se sobreponía a las objeciones de Einstein de una descripción newtoniana del espacio, fue aceptado con decisión en 1922 por un filósofo y físico autodidacta vienés, Franz Selety (1893-1933)^[134]. En 1922, Selety publicó una clara expresión de la imagen del universo jerárquico en la principal revista de física de la época, en la que mostraba cómo se podían abordar todas las objeciones de Einstein a un universo newtoniano infinito^[135]. En pocas palabras, ofreció una receta para un universo jerárquico infinito que contenía una masa infinita de estrellas agrupadas que llenaban todo el espacio, pero con una densidad media de cero^[136] y sin un centro especial.

El problema al que se enfrentaban los partidarios de este tipo de universo era explicar cómo la materia había llegado a quedar distribuida en esta «bonita» jerarquía de cúmulos anidados. Einstein ya había señalado sus inquietudes al respecto diciendo que, aunque la estructura pudiese aparecer, se disolvería al escapar las estrellas aleatoriamente de los cúmulos y ser capturadas por el tirón gravitatorio de otros cúmulos cercanos. Selety tuvo que admitir que era extremadamente improbable que una estructura así hubiese podido aparecer, pero mientras la densidad disminuyese según el cuadrado inverso de la distancia al recorrer hacia arriba la jerarquía de cúmulos, las velocidades aleatorias de las estrellas no serían lo bastante grandes como para que toda la jerarquía acabara por dispersarse en un futuro finito^[137].

Einstein respondió^[138] rápidamente al artículo de Selety, apuntando que vencía las dificultades que él había asumido erróneamente como inevitables para una cosmología newtoniana y admitiendo que «una construcción jerárquica del universo es posible […] pero insatisfactoria»^[139]. Selety siguió insistiendo en su cosmología en artículos publicados^[140] en 1923-1924, y otros la aceptaron también, en especial el eminente matemático francés Émile Borel, pero Einstein nunca volvió a hacer comentario alguno acerca de ella.

La fama de la cosmología jerárquica fue notablemente breve, pero visto en retrospectiva, lo que decía Selety era correcto. Ocasionalmente esta cosmología volvió a emerger en el contexto de la teoría de Einstein en los años 1970^[141], y de nuevo en la década de 1990, para intentar adaptarse a las observaciones de agrupaciones de galaxias. Actualmente, las observaciones detalladas de las fluctuaciones de temperatura en la radiación de fondo indican que la agrupación no prosigue indefinidamente en una estructura fractal^[142].

El universo del Dr. Kasner

Espero no cometer nunca el error de no cometer los errores adecuados.

Samir Samaje

Quizá haya oído hablar de algo llamado la World Wide Web, y sin duda también del notable motor de búsqueda denominado Google, que ha aprisionado la información del mundo en sus tentáculos y es capaz de encontrar una pieza de vajilla de recambio o un libro con una rapidez sorprendente. «Google» es un nombre curioso para la empresa que tiene en marcha esta colosal operación de búsqueda que utiliza una enorme cantidad de recursos informáticos, aunque el nombre de su sede central, el Googleplex, aún suena más extraño.

La historia de estos nombres se inicia con un matemático norteamericano, Edward Kasner, que era profesor en el Barnard College de la Universidad de Columbia, Nueva York (Figura 4.4). Aparte de sus investigaciones en distintos campos de la matemática, a Kasner le apasionaba la comunicación de las matemáticas al gran público y a los jóvenes mediante charlas, libros y artículos. La más famosa de sus publicaciones fue el libro Mathematics and the Imagination, que escribió con James Newman, publicado por primera vez en 1940 y actualmente aún a la venta. En uno de sus capítulos habla de números muy grandes, y da un ejemplo de un número de aspecto elegante y compacto que es enormemente grande: 10¹⁰⁰ es decir, un 1 seguido de 100 ceros (para comparar, en todo el universo visible solo hay alrededor de 10⁸⁰ átomos y 10⁹⁰ fotones de luz). En 1938, el sobrino de Kasner, Milton Sirotta, que tenía por aquel entonces nueve años, inventó para este número el nombre Googol, y luego acuñó el término Googolplex para el número inimaginablemente grande que se obtiene elevando 10 a la potencia de un googol, esto es:

1 Googolplex = 10^Googol

FIGURA 4.4. Edward Kasner (1878-1955).

Este número es tan grande que si empezase a escribirlo entero, en la forma 10000000000…, no cabría en todo el universo visible, que solo mide 10²⁹ cm de lado a lado.

La historia que cuenta el científico computacional David Koller^[143] es que, en 1996, dos jóvenes doctorandos en ciencias de la computación en la Universidad de Stanford, Larry Page y Sergey Brin, estaban empezando a pensar en la forma de crear un mapa de la red de interconexiones entre distintas páginas que contuviesen palabras y citas comunes en la Web. Con el tiempo, la estrategia que desarrollaron para clasificar páginas se convirtió en el más eficaz de los motores de búsqueda de Internet. Al principio llamaron a esta nueva tecnología de búsqueda «BackRub», pero al año siguiente estaban intentando hallar un nombre mejor que reflejara el inmenso número de vínculos implicados en las búsquedas, y uno de sus compañeros, Sean Anderson, sugirió de repente Googolplex, que Page abrevió a Googol. Este nuevo nombre sonaba bastante bien, así que Anderson hizo una rápida búsqueda para ver si Googol.com seguía estando disponible como posible nombre de dominio de Internet. Con las prisas, se equivocó al teclear y escribió «Google.com», y halló que aún estaba disponible. A Brin pareció gustarle la escritura equivocada más que la original, y registró Google.com a nombre de Brin y Page ese mismo día, el 15 de septiembre de 1997. Más adelante, cuando Google creció y se convirtió en una empresa enorme, sus notables oficinas centrales de Mountain View, Santa Clara, cerca de San José, California, recibieron el sobrenombre de «Googleplex».

Edward Kasner hizo algo más que propagar unas cuantas palabras nuevas para designar números grandes por todo el mundo. En 1921 formaba parte del pequeño grupo de personas que intentaban encontrar nuevas soluciones para las ecuaciones de Einstein. Conocía las primeras soluciones de Einstein y De Sitter, que incluían la constante cosmológica repulsiva. Sin embargo, a diferencia de estos famosos pioneros, Kasner carecía de conocimientos especializados en astronomía. Pero era un experto en las matemáticas abstractas que había detrás de las ecuaciones de Einstein, y se planteó a sí mismo el reto matemático de hallar soluciones en la situación en que se pudiese despreciar la materia del universo. Esta hipótesis ya la había empleado De Sitter pero, a diferencia de este, Kasner dejó la constante cosmológica fuera de las ecuaciones. Para compensar estas simplificaciones, Kasner introdujo una posibilidad completamente nueva: que el universo pudiera expandirse a ritmos diferentes en distintas direcciones. En el universo anisótropo de Kasner, el espacio cumplía la geometría plana de Euclides. Era infinito en tamaño, se expandía desde un principio situado un tiempo finito en el pasado y seguía expandiéndose eternamente. Mientras que partes de los universos en expansión de Friedmann y Lemaître se podían visualizar como esferas cuyo tamaño se expandía, el universo de Kasner era como un elipsoide que se expandía en volumen pero crecía a ritmos diferentes en cada dirección.

El universo de Kasner tenía una propiedad muy sorprendente. Aunque se expandía en volumen, en realidad se contraía en una dirección al tiempo que se expandía en las otras dos direcciones en ángulo recto con la primera (Figura 4.5). Así, en el universo de Kasner, una esfera de espacio vacío se haría mayor alrededor de su ecuador, que se haría cada vez más elíptico, mientras los dos polos se contraerían hacia el centro. El universo tendría, cada vez más, forma de crêpe^[144].

FIGURA 4.5. La expansión de los tres radios, X, Y y Z, del universo de Kasner. Dos direcciones se expanden, pero la tercera se contrae. El volumen total, XYZ, crece siempre en proporción directa al tiempo.

Este universo es extraño. No contiene materia. Su espacio no está curvado. Y sin embargo, se expande. Es un mundo impulsado por las diferencias de expansión en distintas direcciones. Conocemos los efectos de las variaciones de la gravedad porque los percibimos a través de las mareas. La Luna (y el Sol) tiran de los océanos con más fuerza del lado de la Tierra más cercano a la Luna, de modo que el nivel del mar es más alto en ese lado de la Tierra que en el otro. Las influencias que causan las mareas siguen un patrón regular debido a la rotación diaria de la Tierra, y varían con el inverso del cubo de la distancia, en lugar de seguir la ley del cuadrado inverso de la fuerza gravitatoria entre masas de Newton. El universo de Kasner contiene esta fuerza gravitatoria de marea y es distinta en cada dirección. Esto permite que el universo «dé comienzo» mediante la expansión a ritmos distintos en distintas direcciones^[145].

El universo de Kasner tiene un aspecto muy especial. Si se le agrega materia, gradualmente evolucionará hacia el universo isótropo de Einstein y De Sitter^[146]. Si se le agrega la constante cosmológica repulsiva, se expandirá hacia el universo de expansión exponencial de De Sitter, haya o no materia en él. Sin embargo, si lo seguimos hacia atrás en el tiempo hasta su «principio» en t = 0, ni la materia, ni la radiación ni la constante cosmológica tienen una influencia significativa en su aspecto. Las diferencias en el ritmo de expansión salen victoriosas, y el universo se empieza a expandir a partir de una «aguja» infinitamente estirada de volumen cero, con un radio infinito en una dirección y cero en las direcciones en ángulo recto a esta, en lugar de hacerlo a partir de un «punto». A pesar de su peculiar naturaleza, el universo de Kasner resultará poseer una influencia enorme en nuestra comprensión de los posibles universos.

El universo de Dirac, en el que la gravedad declina

No se me ocurre cómo se puede trabajar en física y escribir poesía al mismo tiempo. En ciencia, uno quiere decir algo que nadie haya dicho antes, en palabras que todo el mundo pueda comprender. En poesía, seguro que acabas diciendo algo que todo el mundo sabe en palabras que nadie es capaz de entender.

Paul Dirac^[147]

Paul Dirac (1902-1984) fue el profesor Lucasiano (titular de la cátedra Lucasiana) de Matemáticas de la Universidad de Cambridge durante parte del tiempo en que Eddington vivió y trabajó en los Observatorios de la Universidad. Se puede afirmar que es el más grande físico británico del siglo XX, responsable de la creación de una buena parte de la teoría de la mecánica cuántica y del lenguaje matemático en el que se suele expresar, la predicción de la existencia de la antimateria y el descubrimiento de las propiedades estadísticas de las poblaciones de partículas y de la esencial «ecuación de Dirac», que describe el comportamiento de los electrones relativistas. Fue el más joven de los ganadores del premio Nobel de Física, galardón que obtuvo en 1933, con treinta y un años de edad, un año después de su nombramiento para la cátedra Lucasiana.

El biógrafo^[148] de Dirac lo describía como «el más extraño de los hombres», y sus contemporáneos en Cambridge apenas podían decir que lo «conocían». Era hombre de pocas palabras, que catalogaba a las personas de forma muy sucinta: a Ludwig Wittgenstein, por ejemplo, lo describió como «un tipo horrible, que nunca paraba de hablar»^[149]. Los relatos sobre la visión de Dirac sobre la vida, simple y totalmente lógica, y sobre su torpeza en las situaciones sociales son multitud, y no es sorprendente saber que su impresionante incursión en la cosmología fue enviada a la revista Nature pocos días después de regresar de su luna de miel, en febrero de 1937. Diez meses después prosiguió con un artículo mucho más extenso en el que proponía una nueva base para la cosmología. No volvió a escribir sobre el asunto durante treinta y cinco años, pero entonces volvió a abordarlo como si no hubiese pasado el tiempo.

FIGURA 4.6. Paul Dirac (1902-1984).

La mayor parte de los físicos de la época, al ser informados de que Dirac había escrito un artículo de investigación sobre cosmología, habrían esperado una teoría nueva y exhaustiva, o una nueva forma de resolver las complejas ecuaciones de Einstein mediante métodos de una gran sofisticación matemática. En cambio, la idea de Dirac era fascinante pero muy simple, y muchos la calificaron de excéntrica: «Mira lo que le pasa a la gente cuando se casa», dijo bromeando su amigo Niels Bohr. Dirac sostenía que, si en física encontramos números muy grandes y adimensionales, con valores como 10⁴⁰ o 10⁸⁰, es muy poco probable que sean independientes y no estén relacionados. Lo más probable es que haya alguna ley matemática de la Naturaleza no descubierta que relacione las cantidades implicadas. Esta es la Hipótesis de los grandes números (LNH, Large Numbers Hypothesis) de Dirac^[150]. Los grandes números en los que Dirac se había fijado eran tres, e implicaban la edad del universo t, la velocidad de la luz c, las masas del electrón m_e y del protón m_p y la constante de la gravitación de Newton, G. A partir de estos, Dirac construyó los tres números siguientes:

Según su hipótesis^[151], era probable que los números N₁, N₂ y √N fuesen iguales hasta una buena aproximación. Sería realmente extraño que esos números no tuviesen conexión alguna. Dirac creía que debía haber leyes desconocidas de la naturaleza exactamente (o aproximadamente) de la forma N₁ ≈ N₂ o N ≈ N₂².

El cambio radical desencadenado por la LNH de Dirac es que nos exige creer que una colección de constantes tradicionales de la Naturaleza deben de cambiar a medida que el universo se hace más viejo (aumenta t), porque Dirac exige que

N₁ ≈ N₂ ≈ √N ∝ t

El resultado es que la combinación de tres de las constantes tradicionales de la Naturaleza no es en absoluto constante, sino que debe crecer continuamente a medida que el universo envejece, de modo que:

e²/Gm_p ∝ t (*)

Dirac optó por adaptarse a este requisito abandonando la condición de constante de la constante de la gravitación de Newton, G. Propuso que su valor disminuía en proporción directa a la edad del universo en escalas de tiempo cósmicas, cayendo como

G ∝ 1/t

y esto satisface los requisitos de la ecuación (*). En conclusión, en el pasado G era mayor, y en el futuro será menor, que el valor medido en la actualidad. Ahora se ve que N₁ ∝ N₂ ∝ √N ∝ t y la enorme magnitud de los tres Grandes Números es consecuencia de la gran edad del universo^[152]: todos ellos crecen a medida que pasa el tiempo^[153].

El punto de vista de Dirac contenía tres elementos significativos. En primer lugar, intentó mostrar que aquello que hasta entonces se habían considerado coincidencias eran en realidad consecuencias de un conjunto de relaciones más profundas que habían sido pasadas por alto. En segundo lugar, esto le llevó a concluir que la curvatura y la constante cosmológica del universo debían ser cero; en caso contrario, darían lugar a números aún mayores. En tercer lugar, sacrificó la constancia de la más antigua de las constantes de la Naturaleza conocidas. Por desgracia, la hipótesis de Dirac no sobrevivió durante mucho tiempo. El cambio propuesto en el valor de G era demasiado espectacular. Dirac sugirió que, en el pasado, la gravedad habría sido mucho más fuerte. La producción de energía del Sol habría cambiado y la Tierra habría estado mucho más caliente en el pasado de lo que se suele suponer^[154]. Como sostenía el físico norteamericano Edward Teller en 1948, los océanos habrían estado hirviendo en la era precámbrica y la vida tal como la conocemos no habría evolucionado^[155].

George Gamow, que era amigo de Teller, respondió al problema del océano hirviente sugiriendo que podía eludirse si se suponía que las coincidencias de Dirac eran provocadas por una variación temporal de e, la carga del electrón, con e² creciendo con el tiempo como exige la ecuación (*)^[156].

Esta sugerencia tampoco tuvo una vida demasiado larga. Por desgracia, la propuesta de Gamow sobre la variación de e implicaba numerosas consecuencias inaceptables para la vida pasada en la Tierra. Pronto se constató que su teoría habría tenido como resultado el agotamiento del combustible nuclear del Sol mucho tiempo atrás. Si e² creciese proporcionalmente a la edad del universo, el Sol no estaría brillando hoy en día.

A pesar de su fracaso, la sugerencia de Dirac abrió nuevas posibilidades para nuestros modelos del universo. El cambio de la constante de gravitación por una cantidad variable con el tiempo era prácticamente como proponer que la teoría de la relatividad general de Einstein era incorrecta o incompleta. No se puede convertir una constante en una variable con la displicencia que lo hizo Dirac. En el concepto de gravedad de Einstein, todas las formas de energía gravitan, contribuyendo a curvar el espacio y a determinar el ritmo del flujo temporal. Los cambios en G deben también contribuir. Otros intentaron dotar a la idea de un fundamento sólido creando una leve variante de la teoría de Einstein que tuviese en cuenta la variación de la «constante» de gravitación como si fuese una nueva fuente de energía y gravitación.

La primera persona que desarrolló una teoría completa en estos términos, en 1939, mediante la extensión de la teoría de la relatividad de Einstein para contener un nuevo campo de energía que representase las variaciones en la tradicional constante de la gravitación, G, fue el tristemente célebre físico alemán Pascual Jordan. Jordan había efectuado importantes contribuciones a la mecánica cuántica en una serie de artículos con Max Born y Werner Heisenberg. Por desgracia, Jordan era también un nazi convencido, que se unió al Partido Nacionalsocialista en 1933, el año en el que Hitler llegó al poder, y pasó a convertirse en miembro de las tropas de asalto «camisas marrones» en 1934^[157]. Se unió a la Luftwaffe en 1939, y trabajó en meteorología durante la segunda guerra mundial, en cuyo transcurso pasó un período en las instalaciones de investigación sobre cohetes V-1 y V-2 en Peenemünde, en la costa del Mar Báltico. Sin embargo, a pesar de su entusiasmo por trabajar en sistemas de armas, al parecer sus superiores no confiaban plenamente en él, posiblemente debido a su anterior asociación con físicos judíos, como Born. Las simpatías políticas de Jordan crearon un abismo entre él y otros físicos hasta principios de los años cincuenta, cuando recuperó su antiguo puesto académico, de modo que sus trabajos en cosmología durante la década anterior no fueron tenidos en cuenta en aquellos momentos. Hay quien dice que su actividad política le costó una parte del premio Nobel de Física de 1954.

Aunque la incursión en cosmología de Dirac duró poco y fue desbancada por formulaciones más precisas, como la de Jordan, las coincidencias numéricas que Dirac había percibido resultaron tener una interpretación interesante. Robert Dicke señaló que la fórmula N ≈ N₁² es en realidad la afirmación de que el tiempo, t, en el que observamos el universo (lo que llamamos su «edad») es aproximadamente igual al tiempo que una estrella tarda en formarse e iniciar un período estable de evolución, quemando hidrógeno y produciendo helio mediante reacciones de fusión nuclear. Como no podíamos existir antes de que se formasen las estrellas, y no es probable que sigamos existiendo después de que mueran, no es, después de todo, una coincidencia tan sorprendente^[158]. Probablemente no podríamos existir en un universo en el que no viéramos la «coincidencia» (*).

Dirac no se había dado cuenta de que estamos observando el universo en un período muy especial de su historia. La vida de cualquier tipo solo es posible en determinados intervalos de tiempo en un universo en expansión, y solo podemos practicar astronomía durante ese intervalo de tiempo habitable de la historia cósmica.

Dirac respondió a esta importante objeción de Dicke aceptando que hubo un tiempo en el que no podía existir la vida en un universo en expansión, porque sería demasiado caliente y denso; pero creía que, una vez iniciada, la vida podía proseguir en el universo eternamente^[159]. Para Dirac, la vida no estaba confinada a un breve intervalo de la historia cósmica: tenía fe en que su futuro era ilimitado.

El universo ondulante de Einstein y Rosen

[…] las pequeñas porciones de espacio son en realidad análogas a colinas en una superficie que, en promedio, es plana; en concreto, las leyes habituales de la geometría no son válidas en ellas. Que esta propiedad de estar curvada o distorsionada se pasa continuamente de una porción de espacio a otra en la forma de una onda.

William Clifford^[160]

En 1932, Einstein había dejado Europa para ir al recién creado Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, New Jersey, tras una breve estancia en Oxford como profesor e investigador en el Christ Church College. Lejos de la complicada situación política de Europa central, Einstein empezó a reflexionar de nuevo sobre las soluciones de sus ecuaciones, y tuvo la fortuna de que un joven asistente de investigación, Nathan Rosen, viniese a ayudarlo con las matemáticas en 1935. Rosen sería coautor de algunos de los más famosos artículos de física teórica de Einstein durante los dos años siguientes^[161]. Llegado 1936, Einstein y Rosen habían hallado un nuevo tipo de solución a las ecuaciones de Einstein. Esta solución describía un universo en expansión pero con la simetría de un cilindro, de modo que todo dependía del tiempo y de una de las direcciones del espacio. Esta simetría simplifica la fabulosa complexidad de las ecuaciones de Einstein y permite hallar una solución exacta. Este universo posee una nueva propiedad espectacular, que no había aparecido en ninguno de los otros posibles universos que se habían hallado a partir de las ecuaciones de Einstein: contiene ondas que viajan por el espacio y hacen que su geometría se «rice» a su paso. Es como si el universo de Kasner, que se expande a ritmos distintos en las diferentes direcciones, hubiera tenido ondas que viajaran alejándose de una línea que fuera un eje de simetrías, como si fuera un rollo de papel de cocina que fuese expulsando papel mientras se desenrolla (Figura 4.7).

FIGURA 4.7. El universo de Einstein-Rosen contiene ondas gravitatorias cilíndricas que se propagan hacia fuera desde una línea que atraviesa un universo en expansión.

Lo más interesante de este universo para Einstein y sus contemporáneos era la presencia de estas «ondas gravitatorias». El universo de Einstein-Rosen no contenía materia, de modo que las ondas serían rizos en la geometría del espacio que viajarían en el tiempo (Figura 4.7). La idea de las ondas gravitatorias se había estado barajando durante un tiempo, no sin controversia. Algunas personas creían que eran solo «ondas sobre el papel», consecuencia del uso de un determinado conjunto de coordenadas para expresar las ecuaciones de Einstein, y que no se correspondían con ondas reales en el espacio. Otros creían en su realidad física. Si uno se encontraba con una de estas ondas, tendría un efecto (estirándote en una dirección y comprimiéndote en la dirección perpendicular, como una fuerza de marea).

Einstein y Rosen pronto se dieron cuenta de que su nueva solución ofrecía un terreno de pruebas perfecto para resolver esta disputa sin tener que recurrir a aproximaciones inseguras o cálculos numéricos. Increíblemente, la primera conclusión a la que llegaron fue que las ondas gravitatorias cilíndricas no eran «reales»: eran únicamente efectos secundarios de las coordenadas que habían elegido. Decían que era como mirar el globo terráqueo de un geógrafo y ver que todos los meridianos se intersecan en el Polo Norte y en el Polo Sur. Para alguien no versado, esto podría sugerir que en esos puntos de la Tierra, con esa gran convergencia, sucede alguna cosa, pero en realidad no es así. Siempre se puede cambiar a otras coordenadas de mapa en los Polos y todo será de lo más corriente. Imaginemos que hemos optado por líneas onduladas para representar las líneas de longitud. De nuevo, el no iniciado podría pensar que tales líneas sugieren que en la superficie de la Tierra sucede algo ondulatorio, pero se equivocaría. Sin embargo, hay que tener cuidado: si se examina un mapa de curvas de nivel, se verán complicadas líneas onduladas con un aspecto similar. En ese caso sería un error concluir que no corresponden a nada «real» en la superficie de la Tierra. Einstein y Rosen se enfrentaban a la decisión de si sus ondas de curvatura eran «reales», como las curvas de nivel, o simples construcciones humanas, como las líneas de longitud onduladas.

A principios del verano de 1936, Einstein y Rosen enviaron su artículo a la revista norteamericana de física más importante de la época, Physical Review. Afirmaban que las ondas gravitatorias de su universo matemático no tenían realidad física. Cuando la revista recibió su artículo, el 1 de junio, lo trató como el resto de artículos presentados y lo envió a otro científico para que lo evaluase. El 23 de julio se recibió el informe sobre el artículo, que se envió a Einstein sin revelarle la identidad del revisor (la práctica habitual en este tipo de proceso). Ahora sabemos que el científico que elaboró el informe para el editor no era otro que Howard Robertson, uno de los escasos científicos norteamericanos que estaban familiarizados con los detalles técnicos de la relatividad general. A Robertson no le acababan de convencer las conclusiones del artículo, y señalaba el lugar en el que los autores habían extraído una conclusión errónea de las pruebas disponibles. Él opinaba a todas luces que las ondas gravitatorias del universo de Einstein y Rosen eran reales, y solicitó a los autores que tomasen en consideración sus comentarios al respecto. Antes de conocer la respuesta de Einstein, es importante recordar que en Europa, donde se habían publicado los primeros trabajos de Einstein, la práctica habitual no era enviar los artículos para que fuesen revisados de esta forma: se publicaban tal cual si el autor tenía buena reputación o si los hacía llegar a la revista un científico reconocido en nombre del autor, o bien era el propio editor el que los evaluaba. Rechazar un artículo presentado por un autor reconocido se habría considerado insultante, y era algo que no solía suceder. En consecuencia, sin comprender el sistema norteamericano, a Einstein le enojó saber que el editor había enviado su artículo a otro científico. Esta es la respuesta que le dio al editor de Physical Review, John Tate:

El señor Rosen y yo le habíamos enviado nuestro manuscrito para su publicación, y no le habíamos autorizado a mostrarlo a especialistas antes de su publicación. No veo razón alguna para responder a los comentarios —erróneos, en este caso— de su experto anónimo. Teniendo en cuenta este incidente, prefiero publicar el artículo en otra parte^[162].

Einstein presentó rápidamente el artículo al Journal of the Franklin Institute, en donde ya había publicado un artículo anteriormente.

A lo largo de los meses siguientes siguió convencido de que su nuevo universo no contenía ondas gravitatorias reales. Todo esto cambió después de que Einstein se hiciese amigo de Robertson, ¡el mismo Howard Robertson que, sin que Einstein lo supiese, había actuado de referee para su artículo en Physical Review y había planteado dudas sobre sus conclusiones! Robertson persuadió a Einstein de que había una forma mejor de representar la solución que Rosen y él habían hallado, y que no había duda de que las ondas gravitatorias cilíndricas eran reales. En ese momento, el artículo de Einstein y Rosen ya había sido aceptado para su publicación por el Journal of the Franklin Institute, pero Einstein pudo salvar las apariencias con un cambio en las conclusiones cuando le enviaron las pruebas de imprenta para comprobarlas, agregando una nota de agradecimiento a «mi colega, el profesor Robertson, por su amable asistencia en la aclaración del error original»^[163].

Nathan Rosen se había ido a la Unión Soviética para trabajar en la Universidad de Kiev justo después de presentar el artículo, y no se enteró de estos acontecimientos hasta que no supo por el periódico de la aparición de un nuevo artículo de Einstein, lo cual era de interés periodístico. A Rosen no le convencieron los argumentos de Einstein y Robertson acerca de la realidad de las ondas gravitatorias, de modo que más adelante publicó su propio artículo, en el que insistía en su conclusión errónea anterior. Y siguió oponiéndose hasta la década de 1970; por aquel entonces, casi todos los físicos llevaban tiempo convencidos de la realidad de las ondas gravitatorias. Uno de los argumentos clave fue la cuestión simple planteada por Richard Feynman en una conferencia en Chapel Hill, Carolina del Norte, en 1957, dos años después de la muerte de Einstein. Feynman demostró que una cuenta situada sobre una varilla rugosa (a la que se denominó «cuenta adhesiva» debido a la fricción) se movería hacia atrás y hacia delante al pasar las ondas gravitatorias en ángulos rectos respecto de la varilla. La rugosidad de la varilla generaría calor por fricción al moverse la cuenta, del mismo modo que las manos se calientan al frotarlas entre sí. Este calentamiento significaría que la onda gravitatoria era el origen del calor, y por tanto debía transportar energía. En consecuencia, las ondas gravitatorias no existían únicamente en el papel.

El argumento de la «cuenta adhesiva» (o «sticky bead» en inglés) de Feynman resolvió la cuestión para casi todos aquellos que habían dudado de la realidad de las ondas gravitatorias. Estas eran similares a mareas. Si una onda gravitatoria pasase a través de esta página de frente, estiraría la página en una dirección y la encogería en la dirección en ángulo recto a ella: un cuadrado se convertiría en un rectángulo, y un círculo en una elipse.

Esta historia tiene un curioso epílogo. Feynman se inscribió en la conferencia de Chapel Hill con un seudónimo, porque al parecer no tenía un muy alto concepto de los propósitos de esta, de modo que el argumento de la «cuenta adhesiva» se presentó de forma anónima. En su libro de memorias Surely You’re Joking, Mr Feynman! (¿Está usted de broma, señor Feynman?) habla de lo que le costó encontrar el lugar donde se celebraba la conferencia: