Notas

^[1.1] La teoría hamiltoniana es un marco que engloba toda la física clásica estándar y que proporciona el enlace esencial con la mecánica cuántica. Véase R. Penrose (2004), The Road to Reality, Random House, cap. 20 (hay trad. cast.: El camino a la realidad, Debate, Barcelona, 2006). <<

^[1.2] La fórmula de Planck: E = hv. Para una explicación de los símbolos, véase la nota 2.18. <<

^[1.3] Erwin Schrödinger (1950), Statistical Thermodynamics, 2.ª edic., Cambridge University Press. <<

^[1.4] El término «producto» es consistente con la multiplicación de enteros ordinarios en cuanto que el espacio producto de un espacio m-punto por un espacio n-punto es un espacio mn-punto. <<

^[1.5] En 1803 el matemático Lazare Carnot publicó Fundamental Principles of Equilibrium and Movement, donde señalaba las pérdidas de «momento de actividad», es decir, el trabajo útil realizado. Éste fue el primer enunciado del concepto de transformación de energía o entropía. Sadi Carnot pasó a postular que «siempre se pierde algo de calórico» en el trabajo mecánico. En 1854 Clausius desarrolló la idea de «trabajo interno», es decir, «el que los átomos del cuerpo ejercen unos sobre otros» y «trabajo externo», esto es, «el que aparece de influencias externas a las que el cuerpo puede estar expuesto». <<

^[1.6] Claude E. Shannon y Warren Weaver (1949), The Mathematical Theory of Communication, University of Illinois Press. <<

^[1.7] En términos matemáticos, el problema aparece porque la indistinguibilidad macroscópica no es lo que se denomina transitiva, es decir, los estados A y B podrían ser indistinguibles y los estados B y C indistinguibles, y pese a ello ser A y C distinguibles. <<

^[1.8] El «espín» de un núcleo atómico es algo cuya comprensión adecuada requiere consideraciones de mecánica cuántica, pero podríamos hacernos una imagen física razonable imaginando que el núcleo está girando alrededor de un eje, como podría hacerlo una bola de críquet o de béisbol [El verbo inglés to spin significa «girar». (N. del T.)]. El valor total de este espín es el resultado en parte de los espines individuales de los protones y neutrones constituyentes, y en parte de los movimientos orbitales de cada uno de ellos alrededor de los otros. <<

^[1.9] E. L. Hahn (1950), «Spin echoes», Physical Review 80, 580-594. <<

^[1.10] J. P. Heller (1960), «An unmixing demonstration», Am. J. Phys. 28, 348-353. <<

^[1.11] Pudiera ser, sin embargo, que en el contexto de los agujeros negros el concepto de entropía adquiera algún grado de objetividad genuina. Examinaré esta cuestión en §§2.6 y 3.4. <<

^[2.1] Ocasionalmente se han propuesto otras posibles explicaciones del desplazamiento hacia el rojo: una de las más difundidas es una versión de una propuesta de «luz cansada», según la cual los fotones sencillamente «pierden energía» mientras viajan hacia nosotros. Otra versión propone que el tiempo avanzaba más lentamente en el pasado. Tales esquemas resultan ser o bien incompatibles con otras observaciones o principios bien establecidos, o «inútiles», en el sentido de que pueden reformularse para que sean equivalentes a la imagen de universo en expansión estándar, pero con definiciones inusuales de las medidas de espacio y tiempo. <<

^[2.2] A. Blanchard, M. Douspis, M. Rowan-Robinson y S. Sarkar (2003), «An alternative to the cosmological “concordance model”», Astronomy & Astrophysics 412, 35-44. arXiv:astro-ph/0304237v2, 7 de julio de 2003. <<

^[2.3] Fue Fred Hoyle, que había sido un fuerte defensor de la «teoría del estado estacionario» rival (véase §2.2), quien acuñó este término, como descripción despectiva, durante una emisión radiofónica de la BBC el 28 de marzo de 1949. En este libro, cuando haga referencia a ese suceso particular que aparentemente ocurrió hace unos 1,37 × 10¹⁰ años, utilizaré el término con mayúsculas, «Big Bang»; pero cuando haga referencia a otros sucesos similares que pueden ocurrir en la realidad o en modelos teóricos, utilizaré normalmente «big bang» sin mayúsculas. <<

^[2.4] La materia oscura no es «oscura» (como las grandes y visiblemente oscuras regiones de polvo, que se dejan ver claramente por su efecto oscurecedor); más apropiado es decir que es materia invisible. Además, lo que se conoce como «energía oscura» es completamente diferente de la energía que posee la materia ordinaria que, de acuerdo con la E = mc² de Einstein, tiene una influencia atractiva sobre otra materia. En lugar de ello, la energía oscura es repulsiva, y sus efectos parecen estar, hasta ahora, en completo acuerdo con la presencia de algo totalmente diferente de la energía ordinaria, a saber, la constante cosmológica introducida por Einstein en 1917, y tomada en consideración por prácticamente todos los textos de cosmología estándar desde entonces. Esta constante es necesariamente constante, y por ello, a diferencia de la energía, no tiene grados de libertad independientes. <<

^[2.5] Harlan Arp y otros treinta y tres autores, «An open letter to the scientific community», New Scientific, 22 de mayo de 2004. <<

^[2.6] Un púlsar es una estrella de neutrones —un objeto extraordinariamente denso, de unos 10 km de diámetro, con una masa algo mayor que la del Sol— que tiene un campo magnético extraordinariamente intenso y gira a gran velocidad, enviando ráfagas de radiación electromagnética que se repiten con gran precisión y son detectables aquí en la Tierra. <<

^[2.7] Resulta curioso que el propio Friedmann no abordase explícitamente el caso más fácil en el que la curvatura espacial es cero: Zeitschrift für Physik 21, 326-332. <<

^[2.8] Es decir, aparte de posibles identificaciones topológicas que no nos interesan aquí. <<

^[2.9] En los dos casos K = 0 y K < 0 hay versiones topológicamente reducidas (obtenidas identificando entre sí ciertos puntos distantes en la geometría espacial) en las que la geometría espacial es finita. Sin embargo, en todas estas situaciones se pierde la isotropía espacial global. <<

^[2.10] Una supernova es una explosión extraordinariamente violenta de una estrella moribunda (de masa algo mayor que la de nuestro Sol), que le permite alcanzar un brillo que, durante unos días, supera la emisión de toda la galaxia en la que reside. Véase §2.4. <<

^[2.11] S. Perlmutter et al. (1999), Astrophysical J. 517, 565. A. Reiss et al. (1998), Astrophysical J. 116, 1.009. <<

^[2.12] Eugenio Beltrami (1868), «Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea», Giornale di Mathematiche VI, 285-315. Eugenio Beltrami (1868), «Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante», Annali Di Mat., ser II 2, 232-235. <<

^[2.13] H. Bondi y T. Gold (1948), «The steady-state theory of the expanding universe», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 108, 252-270. Fred Hoyle (1948), «A new model for the expanding universe», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 108, 372-382. <<

^[2.14] Aprendí mucha física, y la emoción que produce, de mi íntimo amigo Dennis Sciama, un fuerte defensor en esa época del modelo del estado estacionario, y también asistí a lecciones motivadoras de Bondi y Dirac. <<

^[2.15] J. R. Shakeshaft, M. Ryle, J. E. Baldwin, B. Elsmore y J. H. Thomson (1955), Mem RAS 67, 106-154. <<

^[2.16] Las medidas de temperatura en física fundamental suelen darse en unidades «Kelvin» (denotadas simplemente por la letra «K» tras el valor numérico de la medida de temperatura), que se refieren al número de unidades centígradas (o Celsius) sobre el cero absoluto. <<

^[2.17] También se utilizan a veces las abreviaturas CMBR, CBR y MBR. <<

^[2.18] Para una temperatura dada T, la fórmula de Planck para la intensidad de la radiación de cuerpo negro, para una frecuencia ν, es 2hν³/(e^hv/kT − 1), donde h y k son las constantes de Planck y de Boltzmann, respectivamente. <<

^[2.19] R. C. Tolman (1934), Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, Clarendon Press. <<

^[2.20] El grupo local de galaxias (el cúmulo galáctico que incluye a la Vía Láctea) parece estar moviéndose a aproximadamente 630 km s⁻¹ con respecto al sistema de referencia del CMB. A. Kogut et al. (1993), Astrophysical J. 419, 1. <<

^[2.21] H. Bondi (1952), Cosmology, Cambridge University Press. <<

^[2.22] Una curiosa excepción parecen proporcionarla las chimeneas volcánicas en lugares especiales en el suelo oceánico, de las que dependen colonias de formas de vida extrañas. La actividad volcánica es resultado del calentamiento debido al material radiactivo, material que ha tenido su origen en otras estrellas que, en un pasado lejano, han expulsado dicho material en explosiones de supernova. El papel de baja entropía del Sol es entonces asumido por dichas estrellas, pero eso no cambia la idea general que se presenta en el texto. <<

^[2.23] Ligeras correcciones a esta ecuación proceden, por una parte, de la pequeña cantidad de calentamiento debida al material radiactivo mencionado en la nota 2.22, y, por otra, de efectos procedentes de la combustión de combustibles fósiles y el calentamiento global. <<

^[2.24] Este punto parece haber sido señalado por primera vez por Erwin Schrödinger en su notable libro de 1944 ¿Qué es la vida? <<

^[2.25] R. Penrose (1989), The Emperor’s New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics, Oxford University Press (hay trad. cast.: La nueva mente del emperador, Mondadori, Madrid, 1991). <<

^[2.26] Es bastante habitual referirse a este cono nulo como «cono de luz», pero yo prefiero reservar este último término para el lugar geométrico en el conjunto del espacio-tiempo que es barrido por los rayos de luz que pasan por un suceso p. El cono nulo, por el contrario (en el sentido en que se utiliza aquí), es una estructura definida tan solo en el espacio tangente en el punto p (es decir, infinitesimalmente en p). <<

^[2.27] Para ser explícito acerca de la geometría de Minkowski, podemos escoger un sistema de referencia en reposo de un observador arbitrario y coordenadas cartesianas ordinarias (x, y, z) para especificar la localización espacial de un suceso, con una coordenada temporal t para la coordenada temporal de dicho observador. Tomando escalas de espacio y tiempo de modo que c = 1, encontramos que los conos nulos están dados por dt² − dx² − dy² − dz² = 0. El cono de luz (véase la nota 2.26) en el origen es entonces t² − x² − y² − z² = 0. <<

^[2.28] El concepto de masa al que nos referimos aquí («masiva», «sin masa») es el de masa en reposo. Volveré a esta cuestión en §3.1. <<

^[2.29] Como recordamos de §1.3, las ecuaciones ordinarias de la dinámica son reversibles con respecto al tiempo, de modo que, en lo que concierne al comportamiento dinámico —determinado por los ingredientes submicroscópicos de un sistema físico— podríamos decir igualmente que la «causación» puede propagarse del futuro al pasado. La noción de causación utilizada en el texto está, sin embargo, de acuerdo con la terminología estándar. <<

^[2.30] Longitud = . Véase R. Penrose (2004), The Road to Reality, Random House, Fig. 14.20, p. 318. <<

^[2.31] J. L. Synge (1956), Relativity: The General Theory, North Holland Publishing. <<

^[2.32] Es la existencia de esta métrica natural la que realmente socava por completo el análisis aparentemente penetrante hecho por Poincaré, cuando argumentaba que la geometría del espacio es básicamente una cuestión de convención, y que la geometría euclidiana, siendo la más simple, siempre sería la mejor geometría que podía usar un físico. Véase Poincaré, Science and Method (hay trad. cast.: Ciencia y método, Espasa Calpe, Madrid, 1944). <<

^[2.33] La energía en reposo de una partícula es su energía en el sistema de referencia en que la partícula está en reposo, de modo que el movimiento de la partícula (energía cinética) no contribuye a esta energía. <<

^[2.34] La «velocidad de escape» es la velocidad que un objeto, situado en la superficie de un cuerpo gravitante, necesita adquirir para que pueda escapar por completo de dicho cuerpo y no volver a caer en su superficie. <<

^[2.35] Éste era el cuásar 3C273. <<

^[2.36] Véase el apéndice de R. Penrose (1965), «Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour», Proc. Roy. Soc. A284, 159-203. El argumento es ligeramente incompleto. <<

^[2.37] La más bien extraña circunstancia que dio lugar a esto se narra en mi libro (1989), The Emperor’s New Mind, Oxford University Press. <<

^[2.38] La existencia de una superficie atrapada es un ejemplo de lo que ahora solemos llamar una condición «cuasilocal». En este caso afirmamos la presencia de una 2-superficie topológica de tipo espacio cerrada (normalmente una 2-esfera topológica) cuyas normales nulas en la superficie, que apuntan al futuro, convergen en el futuro. En cualquier espaciotiempo habrá regiones locales de 2-superficies de tipo espacio cuyas normales tienen esta propiedad, de modo que la condición no es local; una superficie atrapada ocurre, sin embargo, solo cuando tales regiones pueden unirse para formar una superficie cerrada (es decir, de topología compacta). <<

^[2.39] R. Penrose (1965), «Gravitacional collapse and space-time singularities», Phys. Rev. Lett. 14, 57-59. R. Penrose (1968), «Structure of space-time», en Batelle Rencontres (C. M. De Witt y J. A. Wheeler, eds.) Benjamin, Nueva York. <<

^[2.40] El único requisito que tiene que satisfacer en este contexto un espaciotiempo no singular —y que la «singularidad» impediría— es lo que se denomina «completitud nula futura». Este requisito es que toda geodésica nula puede extenderse en el futuro a un valor indefinidamente grande de su «parámetro afín». Véase S. W. Hawking y R. Penrose (1996), The Nature of Space and Time, Princeton University Press (hay trad. cast.: La naturaleza del espacio y el tiempo, Debate, Madrid, 1996). <<

^[2.41] R. Penrose (1994), «The question of cosmic censorship», en Black Holes and Relativistic Stars (R. M. Wald, ed.), University of Chicago Press. <<

^[2.42] R. Narayan y J. S. Heyl (2002), «On the lack of type I X-rays bursts in black hole X-ray binaries: evidence for the event horizon?», Astrophysical J. 574, 139-142. <<

^[2.43] La idea de un diagrama conforme estricto fue formalizada por primera vez por Brandon Carter (1966) tras las descripciones más relajadas de diagramas conformes esquemáticos que yo había estado utilizando sistemáticamente desde alrededor de 1962 (véase Penrose 1962, 1964 y 1965). B. Carter (1966), «Complete analytic extension of the symmetry axis of Kerr’s solution of Einstein’s equations», Phys. Rev. 141, 1.242-1.247. R. Penrose (1962), «The light cone at infinity», en Proceedings of the 1962 Conference on Relativistic Theories of Gravitation, Warsaw, Academia Polaca de Ciencias. R. Penrose (1964), «Conformal approach to infinity», en Relativity, Groups and Topology. The 1963 Les Houches Lectures (B. S. DeWitt y C. M. DeWitt, eds.), Gordon and Breach, Nueva York. R. Penrose (1965), «Gravitational collapse and space-time singularities», Phys. Rev. Lett. 14, 57-59. <<

^[2.44] Casualmente, la palabra polaca skraj se pronuncia de la misma forma que «scri» y significa una frontera o un límite (aunque habitualmente de un bosque). <<

^[2.45] En un modelo de estado estacionario invertido respecto al tiempo, un astronauta, en movimiento libre, que siguiera una órbita semejante, encontraría que el movimiento hacia dentro del material ambiente se hace cada vez más rápido hasta que alcanza la velocidad de la luz, con infinitos impactos de momento, en un tiempo experimentado finito. <<

^[2.46] J. L. Synge (1950), Proc. Roy. Irish Acad. 53A, 83. M. D. Kruskal (1960), «Maximal extension of Schwarzschild metric», Phys. Rev. 119, 1.743-1745. G. Szekeres (1960), «On the singularities of a Riemannian manifold», Publ. Mat. Debrecen 7, 285-301. C. Fronsdal (1959), «Completion and embedding of the Schwarzschild solution», Phys. Rev. 116, 778781. <<

^[2.47] S. W. Hawking (1974), «Black hole explosions?», Nature 248, 30. <<

^[2.48] Las nociones de horizonte de sucesos cosmológico y horizonte de partículas fueron formuladas por primera vez por Wolfgang Rindler (1956), «Visual horizons in world-models», Monthly Notices of the Roy. Astronom. Soc. 116, 662. La relación entre estas nociones y los diagramas conformes (esquemáticos) fue señalada en R. Penrose (1967), «Cosmological boundary conditions for zero rest-mass fields», en The Nature of Time (pp. 42-52) (T. Gold, ed.), Cornell University Press. <<

^[2.49] Hay que entender esto en el sentido de que ⁻(p) es la frontera (futura) del conjunto de puntos que pueden conectarse con un suceso p por una curva causal dirigida al futuro. <<

^[2.50] Tras mi propio trabajo que demostraba la inevitabilidad de aparición de singularidades en un colapso gravitatorio local (véase la referencia en la nota 2.36), mencionado en §2.4. Hawking publicó una serie de artículos que mostraban cómo podían obtenerse también resultados similares que se aplican de forma más general en un contexto cosmológico en varios artículos en los Proceedings of the Royal Society (véase S. W Hawking y G. F. R. Ellis [1973], The Large-scale Structure of Space-time, Cambridge University Press). En 1970 unimos fuerzas para ofrecer un teorema muy general que cubría todas estas situaciones. S. W. Hawking y R. Penrose (1970), «The singularities of gravitational collapse and cosmology», Proc. Roy. Soc. Lond. A314, 529-548. <<

^[2.51] Presenté por primera vez un argumento de este tipo en Penrose (1990), «Difficulties with inflationary cosmology», en Proceedings of the 14th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics (E. Fenves, ed.), Academia de Ciencias de Nueva York. Nunca he visto una respuesta de los defensores de la inflación. <<

^[2.52] D. Eardley ([1974], «Death of white holes in the early universe», Phys. Rev. Lett. 33, 442-444) ha argumentado que los agujeros blancos en el universo primitivo serían altamente inestables. Pero ésa no es una razón para que no sean parte del estado inicial, y es perfectamente compatible con lo que estoy diciendo aquí. Los agujeros blancos muy bien podrían desaparecer con ritmos diferentes, de la misma forma que, en la dirección opuesta del tiempo, pueden formarse agujeros negros con ritmos diferentes. <<

^[2.53] Compárese con A. Strominger y C. Vafa (1996), «Microscopic origin of the Bekenstein-Hawking entropy», Phys. Lett. B379, 99-104. A. Ashtekar, M. Bojowald y J. Lewandowski (2003), «Mathematical structure of loop quantum cosmology», Adv. Theor. Math. Phys. 7, 233-268. K. Thorne (1986), Black Holes: The Membrane Paradigm, Yale University Press. <<

^[2.54] En otro lugar he dado esta cifra con el segundo exponente como «123» en lugar de «124», pero ahora estoy aumentando el valor para incluir una contribución de la materia oscura. <<

^[2.55] Dividiendo 10¹⁰¹²⁴ por 10¹⁰⁸⁹, obtenemos 10^10124−1089 = 10¹⁰¹²⁴, tan cercano que no supone diferencia. <<

^[2.56] R. Penrose (1998), «The question of cosmic censorship», en Black Holes and Relativistic Stars (R. M. Wald, ed.), University of Chicago Press. Reimpreso en J. Astrophys. Astr. 20, 233-248, 1999). <<

^[2.57] Véase el apéndice A3. <<

^[2.58] Utilizando los convenios del apéndice A. <<

^[2.59] Habrá, no obstante, efectos no lineales concernientes a cómo se «suman» los diferentes efectos de lentes a lo largo de una visual. Aquí los estoy ignorando. <<

^[2.60] A. O. Petters, H. Levine y J. Wambsganns (2001), Singularity Theory and Gravitational Lensing, Birkhauser. <<

^[2.61] Durante muchos años he estado proponiendo que una condición tal como «C = 0» es válida en singularidades de tipo inicial, frente a lo que evidentemente sucede en las singularidades de «tipo final» que se dan en los agujeros negros. R. Penrose (1979), «Singularities and time-asymmetry», en S. W. Hawking y W. Israel, General Relativity: An Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, pp. 581-638. S. W. Goode y J. Wainwright (1985), «Isotropic singularities in cosmological models», Class. Quantum Grav. 2, 99-115. R. P. A. C. Newman (1993), «On the structure of conformal singularities in classical general relativity», Proc. R. Soc. Lond. A443, 473-549. K. Anguige y K. P. Tod (1999), «Isotropic cosmological singularities I. Polytropic perfect fluid space-times», Ann. Phys. N. Y. 276, 257-293. <<

^[3.1] A. Zee (2003), Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press. <<

^[3.2] Hay buenas razones teóricas (que tienen que ver con la conservación de la carga eléctrica) para pensar que los fotones carecen estrictamente de masa. Pero en lo que concierne a las observaciones, hay una cota superior m < 3 × 10⁻²⁷ eV para la masa del fotón. G. V. Chibisov (1976), «Astrofizicheskie verkhnie predely na massu pokoya fotona», Uspekhi fizicheskikh nauk 119, n.° 3, 19, 624. <<

^[3.3] Hay un uso común del término «invariancia conforme» entre los físicos de partículas que es mucho más débil que el que se utiliza aquí, a saber, que la invariancia es una mera «invariancia de escala», exigida solamente para las transformaciones mucho más restringidas g → Ω²g para las que Ω es una constante. <<

^[3.4] No obstante, puede haber una reserva con respecto a lo que se conoce como una anomalía conforme, según la cual una simetría de los campos clásicos (aquí la invariancia conforme estricta) puede no ser exactamente válida en el contexto cuántico. Esto no será de relevancia a las energías extremadamente altas con las que estamos tratando aquí, aunque podría desempeñar un papel clave en el modo en que «desaparece» la invariancia conforme a medida que empieza a introducirse la masa en reposo. <<

^[3.5] D. J. Gross (1992), «Gauge theory – Past, present, and future?», Chinese J. Phys. 30, n.° 7. <<

^[3.6] El Gran Colisionador de Hadrones está diseñado para hacer que colisionen haces de partículas que se mueven en direcciones opuestas a una energía de 7 × 10¹² electronvoltios (1,12 μJ) por partícula, o llevar núcleos a una energía de 574 TeV (92,0 μJ) por núcleo. <<

^[3.7] El tema de la inflación se discute en §§3.4 y 3.6. <<

^[3.8] S. E. Rugh y H. Zinkernagel (2009), «On the physical basis of cosmic time», Studies in History and Philosophy of Modern Physics 40, 1-19. <<

^[3.9] H. Friedrich (1983), «Cauchy problems for the conformal vacuum field equations in general relativity», Comm. Math. Phys. 91, n.° 4, 445-472. H. Friedrich (2002), «Conformal Einstein evolution», en The Conformal Structure of Space-time: Geometry, Analysis, Numerics (J. Frauendiener y H. Friedrich, eds.), Lecture Notes in Physics, Springer. H. Friedrich (1998), «Einstein’s equation and conformal structure», en The Geometric Universe: Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (S. A. Huggett, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou y N. M. J. Woodhouse, eds.), Oxford University Press. <<

^[3.10] Un ejemplo de uno de estos problemas de inconsistencia es la denominada paradoja del abuelo, en la que un hombre que viajó atrás en el tiempo mató a su abuelo biológico antes de que este último hubiera conocido a la abuela del viajero. Como resultado, uno de los padres del viajero (y por extensión el propio viajero) nunca habría sido concebido. Esto implicaría que no podría haber viajado atrás en el tiempo después de todo, lo que significaría que el abuelo seguiría estando vivo y el viajero habría sido concebido, lo que le permitiría viajar atrás en el tiempo y matar a su abuelo. Así, cada posibilidad parece implicar su propia negación, un tipo de paradoja lógica. René Barjavel (1943), Le voyageur imprudent (The Imprudent Traveller). (En realidad, el libro se refiere a un ancestro del viajero en el tiempo, y no a su abuelo.) <<

^[3.11] Esta medida en es una potencia de «dp, dx», donde dp se refiere a la variable momento correspondiente a la variable posición x; véase, por ejemplo, R. Penrose (2004), The Road to Reality, §20.2. Si dx escala en un factor Ω, entonces dp escala en Ω⁻¹. Esta invariancia de escala en es válida independientemente de cualquier invariancia conforme de la física que se está describiendo. <<

^[3.12] R. Penrose (2008), «Causality, quantum theory and cosmology», en On Space and Time (Shahn Majid, ed.), Cambridge University Press. R. Penrose (2009), «The basic ideas of Conformal Cyclic Cosmology», en Death and Anti-death, vol. 6: Thirty Years After Kurt Gödel (1906-1978) (Charles Tandy, ed.), Ria University Press, Stanford, Palo Alto, CA. <<

^[3.13] Experimentos recientes en el detector Super-Kamiokande en Japón, que detecta radiación Cherenkov en agua, da una cota inferior para la vida media del protón de 6,6 × 10³³ años. <<

^[3.14] Básicamente aniquilación de pares; debo dar las gracias a J. D. Bjorken por haberme aclarado esta cuestión. J. D. Bjorken y S. D. Drell (1965), Relativistic Quamtum Mechanics, McGraw-Hill. <<

^[3.15] Por el momento, la situación observacional con respecto a los neutrinos es que las diferencias entre sus masas no puede ser cero, pero parece que sigue habiendo la posibilidad técnica de que uno de los tres tipos de neutrino carezca de masa. Y. Fukuda et al. (1998), «Measurements of the solar neutrino flux from Super-Kamiokande’s first 300 days», Phys. Rev. Lett. 81 (6), 1.158-1.162. <<

^[3.16] Estos operadores son las cantidades que se pueden construir a partir de los generadores del grupo que conmutan con todos los elementos del grupo. <<

^[3.17] Para mí no es descartable una desintegración muy lenta de la masa en reposo. H.-M. Chand y S. T. Tsou (2007), «A model behind the standard model», European Physical Journal C52, 635-663. <<

^[3.18] Los operadores diferenciales miden cómo varían en el espacio-tiempo las magnitudes sobre las que actúan; véanse los apéndices para ver los significados explícitos de los operadores «∇» aquí utilizados. <<

^[3.19] R. Penrose (1965), «Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour», Proc. R. Soc. Lond. A284, 159-203. <<

^[3.20] De hecho, en el apéndice B1, mi convenio respecto a si es g o ĝ la métrica física de Einstein será el opuesto a éste, de modo que será Ω⁻¹» lo que tiende a cero. <<

^[3.21] Esto depende de que la naturaleza de la materia en ⁻ sea la de radiación, como en el modelo de radiación de Tolman descrito en §3.3, y no la del polvo del modelo de Friedmann. <<

^[3.22] La «diferencial» dΩ/(1 − Ω²) se interpreta, de acuerdo con el cálculo de Cartan de las formas diferenciales, como una 1-forma, o covector, pero su invariancia bajo Ω → Ω⁻¹ se comprueba fácilmente utilizando reglas estándar del cálculo infinitesimal: véase, por ejemplo, R. Penrose (2004), The Road to Reality, Random House. <<

^[3.23] Personalmente, encuentro un poco extraña la tendencia moderna a hablar de «energía oscura» como una contribución a la densidad de materia del universo. <<

^[3.24] Incluso obtener un valor que es demasiado grande por 120 órdenes de magnitud requiere un acto de fe en un «procedimiento de renormalización», sin el cual se obtendría en su lugar el valor «∞» (véase §3.5) <<

^[3.25] Determinaciones basadas en mecánica celeste proporcionan límites a la variación de G de (dG/dt)/G₀ ≤ 10⁻¹²/año. <<

^[3.26] R. H. Dicke (1961), «Dirac’s cosmology ad Mach’s principle», Nature 192, 440-441. B. Carter (1974), «Large number coincidences and the anthropic principle in cosmology», en IAU Symposium 63: Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data, Reidel, pp. 291-298. <<

^[3.27] A. Pais (1982), Subtle is the Lord:The Science and Life of Albert Einstein, Oxford University Press (hay trad. cast.: El Señor es sutil: la ciencia y la vida de Albert Einstein, Ariel, Barcelona, 1984). <<

^[3.28] R. C. Tolman (1934), Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, Clarendon Press. <<

^[3.29] La noción estricta de continuación analítica se describe en R. Penrose (2004), The Road to Reality, Random House, y W. Rindler (2001), Relativity: Special, General, and Cosmological, Oxford University Press. <<

^[3.30] Un denominado «número imaginario» es una cantidad a cuyo cuadrado es un número negativo, tal como la cantidad i, que satisface i² = –1. Véase R. Penrose (2004), The Road to Reality, Random House, §4.1. <<

^[3.31] B. Carter (1974), «Large number coincidences and the anthropic principle in cosmology», en IAU Symposium 63: Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data, Reidel, pp. 291-298. John D. Barrow y Frank J. Tipler (1988), The Anthropic Cosmological Principle, Oxford University Press. <<

^[3.32] L. Susskind, «The anthropic landscape of string theory arxiv:hepth/0302219». A. Linde (1986), «Eternal chaotic inflation», Mod. Phys. Lett. A1, 81. <<

^[3.33] Lee Smolin (1999), The Life of the Cosmos, Oxford University Press. <<

^[3.34] Gabriele Veneziano (2004), «The myth of the beginning of time», Scientific American, mayo. <<

^[3.35] Paul J. Steinhardt y Neil Turok (2007), Endless Universe: Beyond the Big Bang, Random House, Londres. <<

^[3.36] Véase, por ejemplo, C. J. Isham (1975), Quantum Gravity: An Oxford Symposium, Oxford University Press. <<

^[3.37] Abhay Ashtekar y Martin Bojowald, «Quantum geometry and the Schwarzschild singularity». http://www.arxiv.org/gr-qc/0509075. <<

^[3.38] Véase, por ejemplo, A. Einstein (1931), Berl. Ber. 235, A. Einstein y N. Rosen (1935), Phys. Rev. Ser. 2 48, 73. <<

^[3.39] Véase la nota 2.50. <<

^[3.40] Véase la nota 3.11. <<

^[3.41] Hay buena evidencia a favor de agujeros negros mucho más grandes en otras galaxias; el récord actual es un enorme agujero negro de masa ~1,8 × 10¹⁰ Mʘ, aproximadamente la misma masa que toda una galaxia pequeña, pero puede haber también numerosas galaxias cuyos agujeros negros son mucho más pequeñas que nuestro agujero ~4 × 10⁶ Mʘ. La cifra exacta sugerida en el texto no tiene una importancia crucial para el argumento. Mi conjetura sería que está realmente en el lado bajo. <<

^[3.42] J. D. Bekenstein (1972), «Black holes and the second law», Nuovo Cimento Letters 4, 737-740. J. Bekenstein (1973), «Black holes and entropy», Phys. Rev. D7, 2.333-2.346. <<

^[3.43] J. M. Bardeen, B. Carter y S. W. Hawking (1973), «The four laws of black hole mechanics», Communications in Mathematical Physics 31(2), 162-170. <<

^[3.44] De hecho, solo se necesitan 10 números para caracterizar un agujero negro estacionario (en el vacío): su localización (3), su velocidad (3), su masa (1) y su momento angular (3), pese a los enormes números de parámetros que serían necesarios para describir cómo se formó. Así, estos 10 parámetros macroscópicos parecerían etiquetar una región absolutamente enorme del espacio de fases, que da un enorme valor para la entropía por la fórmula de Boltzmann. <<

^[3.45] http://www.xaonon.dyndns.org/hawking. <<

^[3.46] L. Susskind (2008), The Black Hole War: My Battle with Stephen Hawking to Make the World Safe for Quantum Mechanics, Little, Brown (hay trad. cast.: La guerra de los agujeros negros, Crítica, Barcelona, 2009). <<

^[3.47] D. Gottesman y J. Preskill (2003), «Comment on “The black hole final state”», hep-th/0311269. G. T. Horowitz y J. Maldacena (2003), «The black hole final state», hep-th/0310281. L. Susskind (2003), «Twenty years of debate with Stephen», en The Future of Theoretical Physics and Cosmology (G. W. Gibbons et al., eds.), Cambridge University Press. <<

^[3.48] Hawking pronto hizo notar que el propio pop representaría, técnicamente, una momentánea «singularidad desnuda» que violaría la conjetura de censura cósmica. Ésta es básicamente la razón por la que la hipótesis de censura cósmica está restringida a la teoría de la relatividad general clásica. R. Penrose (1994), «The question of cosmic censorship», en Black Holes and Relativistic Stars (R. M. Wald, ed.), University of Chicago Press. <<

^[3.49] James B. Hartle (1998), «Generalized quantum theory in evaporating black hole space-times», en Black Holes and Relativistic Stars (R. M. Wald, ed.), University of Chicago Press. <<

^[3.50] Un resultado bien conocido de la teoría cuántica, el «teorema de imposibilidad de clonación», prohíbe la copia de un estado cuántico desconocido. No veo ninguna razón por la que no se aplicara aquí. W. K. Wootters y W. H. Zurek (1982), «A single quantum cannot be cloned», Nature 299, 802-803. <<

^[3.51] S. W. Hawking (1974), «Black hole explosions», Nature 248, 30. S. W. Hawking (1975), «Particle creation by black holes», Commun. Math. Phys. 43. <<

^[3.52] Para el más reciente argumento de Hawking, véase «Hawking changes his mind about black holes», publicado online por Nature (doi:10.1038/news040712-12). Se basa en conjeturas que tienen relación con la teoría de cuerdas. S. W. Hawking (2005), «Information loss in black holes», Phys. Rev. D72, 084013. <<

^[3.53] La ecuación de Schrödinger es una ecuación de primer orden compleja, y cuando se invierte el tiempo, el número «imaginario» i debe reemplazarse por −i (i = √−1); véase la nota 3.30. <<

^[3.54] Para más información, véase R. Penrose (2004), The Road to Reality, caps. 21-23. <<

^[3.55] W. Heisenberg (1971), Physics and Beyond, Harper and Row, pp. 73-76 (hay trad. cast.: Más allá de la física, Biblioteca de Autores Cristianos, Madrid, 1974).Véase también A. Pais (1991), Niels Bohr’s Times, Clarendon Press, p. 299. <<

^[3.56] Al parecer, Dirac no se tomó mucho interés en «interpretar» la mecánica cuántica tal como está para resolver el problema de la medida, y adoptó el punto de vista de que la teoría cuántica de campos actual es, en cualquier caso, tan solo una «teoría provisional». <<

^[3.57] P. A. M. Dirac (1982), The Principles of Quantum Mechanics, 4.ª edic., Clarendon Press (1.ª edic., 1930) (hay trad. cast.: Los principios de la mecánica cuántica, Ariel, Barcelona, 1958). <<

^[3.58] L. Diósi (1984), «Gravitation and quantum mechanical localization of macro-objects», Phys. Lett. 105A, 199-202. L. Diósi (1989), «Models for universal reduction of macroscopic quantum fluctuations»,. Phys. Rev. A40, 1.165-1.174. R. Penrose (1986), «Gravity and state-vector reduction», en Quantum Concepts in Space and Time (R. Penrose y C. J. Isham, eds.), Oxford University Press, pp. 129-146. R. Penrose (2000), «Wavefunction collapse as a real gravitational effect», en Mathematical Physics 2000 (eds. A. Fokas, T. W. B. Kibble, A. Grigouriou y B. Zegarlinski), Imperial College Press, pp. 266-282. R. Penrose (2009), «Black holes, quantum theory and cosmology» (Fourth Internacional Workshop DICE 2008), J. Physics Conf. Ser. 174, 012001. doi:10.1088/1742-6596/174/1/012001. <<

^[3.59] Al tratar con un universo que podría ser espacialmente infinito existe siempre el problema de que los valores totales de magnitudes como la entropía resultan infinitos. No obstante, esto no es demasiado importante ya que suponiendo una homogeneidad espacial general se puede trabajar, en su lugar, con un gran «volumen comóvil» (cuyas fronteras siguen el flujo general de materia). <<

^[3.60] S. W. Hawking (1976), «Black holes and thermodynamics», Phys. Rev. D13(2), 191. G. W. Gibbons y M. J. Perry (1978), «Black holes and thermal Green’s function», Proc. Roy. Soc. London A358, 467-494. N. D. Birrel y P. C. W. Davies (1984), Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press. <<

^[3.61] Comunicación personal de Paul Tod. <<

^[3.62] Véase la nota 3.11. <<

^[3.63] Creo que mi punto de vista con respecto a la «pérdida de información» que da lugar a la entropía de agujero negro difiere del que se expresa frecuentemente, en cuanto que yo no considero el horizonte como la localización crucial para esto (puesto que los horizontes no son localmente discernibles, en cualquier caso), sino que asumo la idea de que es realmente la singularidad la responsable de la destrucción de información. <<

^[3.64] Véase la nota 3.42. <<

^[3.65] W. G. Unruh (1976), «Notes on black hole evaporation», Phys. Rev. D14, 870. <<

^[3.66] G. W. Gibbons y M. J. Perry (1978), «Black holes and thermal Green’s function», Proc. Roy. Soc. London A358, 467-494. N. D. Birrel y P. C. W. Davies (1984), Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press. <<

^[3.67] Wolfgang Rindler (2001), Relativity: Special, General, and Cosmological, Oxford University Press. <<

^[3.68] H.-Y. Guo, C-G. Huang y B. Zhou (2005), Europhys. Lett. 72, 1.045-1.051. <<

^[3.69] Cabría objetar que la región cubierta por los observadores de Rindler no es la totalidad de , pero está objeción es válida también para . <<

^[3.70] J. A. Wheeler y K. Ford (1995), Geons, Black Holes, and Quantum Foam, Norton. <<

^[3.71] A. Ashtekar y J. Lewandowski (2004), «Background independent quantum gravity: a status report», Class. Quant. Grav. 21, R53-R152. doi: 10.1088/0264-9381/21/15/R01, arXiv:gr-qc/0404018. <<

^[3.72] J. W. Barret y L. Crane (1998), «Relativistic spin networks and quantum gravity», J. Math. Phys. 39, 3.296-3.302. J. C. Baez (2000), An introduction to Spin Foam Models of Quantum Gravity and BF Theory, Lect. Notes Phys. 543, 25-94. F. Markopoulou y L. Smolin (1997), «Causal evolution of spin networks», Nucl. Phys. B508, 409-430. <<

^[3.73] H. S. Snyder (1947), Phys. Rev. 71(1), 38-41. H. S. Snyder (1947), Phys. Rev. 72(1), 68-71. A. Schild (1949), Phys. Rev. 73, 414-415. <<

^[3.74] F. Dowker (2006), «Causal sets as discrete space-time», Contemporary Physics 47, 1-9. R. D. Sorkin (2003), «Causal sets: discrete gravity» (notas para la Valdivia Summer School), en Proceedings of the Valdivia Summer School (A. Gomberoff y D. Marolf, eds.), arXiv:gr-qc/0309009. <<

^[3.75] R. Geroch y J. B. Hartle (1986), «Computability and physical theories», Foundations of Physics 16, 533-550. R. W. Williams y T. Regee (2000), «Discrete structures in physics», J. Math. Phys. 41, 3.964-3.984. <<

^[3.76] Y. Ahmavaara (1965), J. Math. Phys. 6, 87. D. Finkelstein (1996), Quantum Relativity: A Synthesis of the Ideas of Einstein and Heisenberg, Springer-Verlag. <<

^[3.77] A. Connes (1994), Non-Commutative Geometry, Academic Press. S. Majid (2000), «Quantum groups and noncommutative geometry», J. Math. Phys. 41, 3.892-3.942. <<

^[3.78] B. Green (1999), The Elegant Universe, Norton (hay trad. cast.: El universo elegante, Crítica, Barcelona, 2001). J. Polchinski (1998), String Theory, Cambridge University Press. <<

^[3.79] J. Barbour (2000), The End of Time: The Next Revolution in our Understanding of the Universe, Phoenix. R. Penrose (1971), «Angular momentum: an approach to combinatorial space-time», en Quantum Theory and Beyond (T. Bastin, ed.), Cambridge University Press. <<

^[3.80] Para una exposición de la teoría de twistores, véase R. Penrose (2004), The Road to Reality, Random House, cap. 33. <<

^[3.81] G. Veneziano (2004), «The myth of the beginning of time», Scientific American (mayo). Véase también la nota 3.34. <<

^[3.82] R. Penrose (2004), The Road to Reality, Random House, §28.4. <<

^[3.83] «Realizar» una fluctuación cuántica como una irregularidad real en una distribución de materia clásica requiere realmente una manifestación del proceso R mencionado al final de §3.4, que no es parte de una evolución unitaria U. <<

^[3.84] D. B. Guenther, L. M. Krauss y P. Demarque (1998), «Testing the constancy of the gravitational constant using helioseismology», Astrophys. J. 498, 871-876. <<

^[3.85] De hecho, hay procedimientos estándar para tener en cuenta la evolución desde ⁻ a . No obstante, esto no se aplicó en el análisis preliminar de Hajian de los datos de CMB (que se describirán brevemente en el texto). <<

^[3.86] Tales distorsiones de la forma circular podrían darse también en el eón previo, aunque conjeturo que sería un efecto menor. En cualquier caso, si se dan, sus efectos serían mucho más difíciles de tratar, y sería una gran molestia para el análisis, por muchas razones. <<

^[3.87] V. G. Gurzadyan, C. L. Bianco, A. L. Kashin, H. Kuloghlian y G. Yegorian (2006), «Ellipticity in cosmic microwave background as a tracer of large-scale universe», Phys. Lett. A363, 121-124. V. G. Gurzadyan y A. A. Kocharyan (2009), «Porosity criterion for hyperbolic voids and the cosmic microwave background», Astronomy and Astrophysics 493, L61-L63. [DOI: 10.1051/000-6361:200811317.] <<

^[A.1] R. Penrose y W. Rindler (1984), Spinors and Space-time, vol. I: Two-spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press. R. Penrose y W. Rindler (1986), Spinors and Space-time, vol. II: Spinor and Twistor Methods in Space-time Geometry, Cambridge University Press. <<

^[A.2] P. A. M. Dirac (1982), The Principles of Quantum Mechanics, 4.ª edic., Clarendon Press, (1.ª edic., 1930). E. M. Corson (1953), Introduction to Tensors, Spinores, and Relativistic Wave Equations, Blackie and Sons Ltd. <<

^[A.3] C. G. Callan, S. Coleman y R. Jackiw (1970), Ann. Phys (NY) 59, 42. E. T. Newman y R. Penrose (1968), Proc. Roy. Soc, Ser. A305, 174. <<

^[A.4] Ésta es la ecuación de Dirac-Fierz de espín 2, en el límite linealizado de la relatividad general. P. A. M. Dirac (1982), The Principles of Quantum Mechanics, 4.ª edic., Clarendon Press (1.ª edic., 1930). M. Fierz y W. Pauli (1939), «On relativistic wave equations for particles of arbitraty spin in an electromagnetic field», Proc. Roy. Soc. Lond. A173, 211-232. <<

^[B.1] Es posible que el formalismo actual deba modificarse de modo que incorpore también una desintegración de masa en reposo en ^∧, de acuerdo con §3.2. Sin embargo, es probable que esto complicara las cosas de forma considerable, así que por el momento restrinjo la atención a situaciones que pueden tratarse con la hipótesis de que nuestro «cuello» no contiene masa en reposo en ^∧. <<

^[B.2] No creo que = sea, en sí misma, una hipótesis fuerte; es tan solo una cuestión de conveniencia. Tal como están las cosas, se trata meramente de disponer que cualesquiera cambios en las constantes físicas que pudieran ocurrir de un eón al siguiente son asumidos por otras cantidades. Como comentario adicional, puede señalarse que como alternativa a las «unidades de Planck» estándar introducidas en §3.2, se podría considerar el reemplazar la condición G = 1 por Λ = 3, pues esto encaja con el formalismo de la CCC tal como se presenta aquí. <<

^[B.3] E. Calabi (1954), «The space of Kähler metrics», Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam, pp. 206-207′. <<

^[B.4] Campo fantasma: este término ha sido también utilizado, en la literatura, en otros sentidos algo diferentes. <<

^[B.5] Véase la nota 3.9. <<

^[B.6] Véase la nota 3.9. <<

^[B.7] La libertad plena está dada por el reemplazamiento Ω → (AΩ + B)/(BΩ + A) con A y B constantes, por lo que Π → Π. Pero esta ambigüedad se trata exigiendo que Λ tenga un polo (y ω un cero) en X. <<

^[B.8] K. P. Tod (2003), «Isotropic cosmological singularities: other matter models», Class. Quant. Grav. 20, 521-534. [DOI: 10.1088/0264-9381/20/3/309.] <<

^[B.9] Véase la nota 3.28. <<

^[B.10] Al parecer, este operador fue introducido por C. R. LeBrun ([1985], «Ambi-twistors and Einstein equations», Classical Quantum Gravity 2, 555-563) en su definición de «fibra de Einstein», en la teoría de twistores. Forma parte de una familia de operadores mucho más generales introducida por Eastwood y Rice (M. G. Eastwood y J. W. Rice [1987], «Conformally invariant differential operators on Minkowski space and their curved analogues», Commun. Math. Phys. 109, 207-228, Erratum, Commun. Math. Phys. 144 [1992], 213). También es relevante en otros contextos (M. G. Eastwood [2001], «The Einstein bundle of a nonlinear graviton», en Further Advances in Twistor Theory, vol. III, Chapman & Hall/CRC, pp. 36-39. T. N. Bailey, M. G. Eastwood y A. R. Gover [1994], «Thomas’s structure bundle for conformal, projective, and related structures», Rocky Mtn. Jour. Math. 24, 1.191-1.217). Ha llegado a conocerse como el operador «conforme a Einstein». Véase también nota a pie de página en p. 124 de R. Penrose y W. Rindler (1984), Spinors and Space-time, vol. II: Spinor and Twistor Methods in Space-time Geometry, Cambridge University Press. <<

^[B.11] Esta interpretación me fue señalada por K. P. Tod. En Penrose y Rindler (1986) se llama a esta condición la «condición de Einstein asintótica». R. Penrose y W. Rindler (1986), Spinors and Space-time, vol. II: Spinor and Twistor Methods in Space-time Geometry, Cambridge University Press. <<

^[B.12] Hay otras maneras de ver este cambio de signo efectivo en la constante gravitatoria: una consiste en comparar el «comportamiento Grgin» del campo de radiación con el «comportamiento anti-Grgin» de las fuentes gravitatorias cuando se cruza el infinito conforme; véase Penrose y Rindler (1986), §9.4, pp. 329-332. R. Penrose y W. Rindler (1986), Spinors and Space-time, vol. II: Spinor and Twistor Methods in Space-time Geometry, Cambridge University Press. <<

^[B.13] K. P. Tod, comunicación personal. <<