TODOS LOS MAPAS DEL MUNDO

La seriedad de la prensa científica radica en su capacidad de discernir lo que es cierto de lo que no lo es y, dentro de lo primero, lo relevante de lo superfluo. La matemática no escapa a este juego, y los pocos espacios en que es la protagonista son de lo más variado. Obviamente, existen medios bien informados que suelen dar cuenta de manera apropiada de los últimos avances importantes o, al menos, otorgan una cobertura razonable de la entrega de premios internacionales. Sin embargo, la mayoría de las veces, las «noticias» tratan de simples jugarretas, las que a veces pueden ser interesantes (como la descrita al inicio del capítulo 6), no obstante carezcan de mayor trascendencia. En otras ocasiones se cae en la tentación de dar validez a anuncios desafortunados apelando a su espectacularidad. En un país de una incipiente prensa científica, este último punto se ve agravado por el hecho de que muchos medios locales compran notas a agencias extranjeras de prestigio, sin cuestionarse mayormente si están practicando un control editorial adecuado ni darse el trabajo de consultar a especialistas de nuestra propia comunidad (muy probablemente, esto último ni siquiera se les pasa por la cabeza). Tal fue el caso en 2014, cuando diversos medios anunciaron la solución de la conjetura de Riemann, relacionada directamente con la distribución de los números primos (capítulo 31) y quizás el problema abierto más importante de la matemática: «El profesor que asegura haber resuelto un problema matemático de 150 años» en www.t13.cl. Claramente, en aquella ocasión, la primicia era aún más tentadora dado su carácter algo exótico: quien afirmaba haber encontrado la solución era el académico nigeriano Opeyemi Enoch, quien había sido motivado a trabajar en el problema por estudiantes que perseguían el millón de dólares ofrecido por el Instituto Clay a aquel que lo resolviese (tal como había sucedido con la conjetura de Poincaré; capítulo 14). Lo cierto es que cuando el anuncio apareció en los medios, la comunidad matemática ya había echado por tierra cualquier esperanza de que las ideas de Enoch pudiesen llevar a una solución correcta.

Lamentablemente, las desmedidas ansias de aumentar la visibilidad de las notas de divulgación han llevado incluso al extremo de «contaminar» episodios que, si bien son dignos de todo elogio, son presentados de manera distorsionada. Este fue el caso del mapa mundial propuesto por el japonés Hajime Narukawa en 2016, respecto del cual erróneamente se mencionó que «refleja fielmente las proporciones entre regiones y países» y «resuelve el espinoso problema de proyectar un planeta esférico a un mapa plano»: ver el video «BBC: el extraordinario mapa que muestra al mundo tal como es realmente» en www.latercera.com.

El mapa de Narukawa, denominado «AutoGraph».

Para su confección, Narukawa dividió el globo terrestre en noventa y seis regiones de igual área y las proyectó sobre un tetraedro, el cual una vez «abierto» y dispuesto de forma rectangular origina el mapa. Hasta aquí nada es cuestionable. De hecho, la idea es muy original, y el producto final, excelente. ¡Ya quisiera yo tener una copia de él en mi pared! No es de extrañar entonces que, en virtud de este trabajo, Narukawa haya obtenido uno de los galardones más prestigiosos de diseño en Japón, el Good Design Award, concedido por el Instituto Japonés de Promoción del Diseño.

El punto conflictivo radica en la forma como fue presentada la noticia en la mayoría de los medios —de lo cual debe excluirse de responsabilidad a Narukawa y su equipo—. En efecto, decir que este o cualquier otro mapa constituye una representación fiel del globo terrestre es simplemente una aberración, para cuya constatación basta una simple visita a Wikipedia: en la entrada «Theorema egregium». Allí se señala clara y categóricamente que la existencia de un «mapa perfecto» entraría en contradicción con uno de los resultados más importantes de la matemática: el teorema egregium.

Estudiar la geometría de las superficies no es tarea sencilla. Para ello, los viejos métodos de la geometría del plano aprendidos en la escuela no resultan suficientes, y se requiere del uso del cálculo diferencial. En este camino, un concepto fundamental es el de curvatura. Instintivamente, tendemos a decir que una superficie está «curvada» si no puede ser extendida sobre un plano. Así, por ejemplo, un cilindro o un cono no están curvados, pues al abrirlos apropiadamente se desenrollan a la perfección. Sin embargo, esto se hace imposible con un balón o con la campana de una trompeta: sin importar dónde ni cuántas veces los cortemos, nunca será posible extender una porción de ellos en el plano.

Ahora bien, el «tipo» de curvatura de un balón es ciertamente distinto al de la campana de la trompeta. El primero tiende a «cerrarse», pues se curva «hacia adentro», esto es, en cada posición, todas las direcciones apuntan en el mismo sentido. La segunda, en cambio, tiende a «abrirse», pues se curva «hacia afuera», esto es, en cada posición hay algunas direcciones que apuntan en un sentido y otras que apuntan en el sentido contrario. En el primer caso, la curvatura es positiva, mientras que en el segundo es negativa. Pero esto está lejos de ser una simple convención de signos, pues la curvatura es un número claramente definido mediante el cálculo infinitesimal. Así, la curvatura de cualquier punto de un plano, un cilindro o un cono es igual a cero, mientras que la de los puntos de un balón es igual al inverso del cuadrado de su radio. De esta forma, mientras más grande es el balón, menos curvado está (esto explica por qué nuestro planeta es «casi plano»). En cuanto a la campana de la trompeta, su curvatura ciertamente dependerá del modelo específico, pero hay uno en particular que es geométricamente muy elegante (aunque no de mucho interés musical): aquel en que todo punto tiene curvatura exactamente igual a -1 y cuya superficie, por analogía, es llamada «seudoesfera».

Seudoesfera impresa con tecnología 3D.

Karl Gauss, uno de los más brillantes matemáticos de la historia (apodado no sin razón «el príncipe de las matemáticas»), demostró en 1825 que si una transformación de una superficie en otra preserva todas las distancias, entonces las curvaturas de ambas deben ser iguales. Tan maravillado quedó con este resultado que lo bautizó como teorema egregium («teorema notable»). Y Gauss tenía todo el derecho a estar feliz y orgulloso, pues más allá del descubrimiento mismo, este lo llevó a imaginar nuevas geometrías —en especial, geometrías de curvatura negativa—, hasta ese entonces inimaginables para el ser humano. Lamentablemente, dado el carácter extraordinariamente reservado del meticuloso Gauss, quien además no quería entreverarse en una discusión con la comunidad filosófica (sus ideas desacreditaban en buena parte la «teoría de la naturaleza» de Immanuel Kant), muchos de sus trabajos nunca fueron publicados y solo fueron descubiertos entre sus escritos con posterioridad a su muerte.

Un aspecto sumamente interesante es que Gauss llegó a su teorema egregium no solo como resultado de una investigación teórica en matemática de vanguardia, sino también motivado por una necesidad muy concreta. En efecto, el gobierno prusiano le había encomendado importantes tareas de geomensura. Así, mientras elaboraba las respectivas cartas geográficas, comenzó a tomar conciencia de que, mientras más territorio estas abarcaban, mayor distorsión iban exhibiendo.

De este modo, gracias a la genialidad de Gauss y su teorema egregium, sabemos que transformar una esfera —cualquiera sea su radio— en un plano, preservando las distancias, es sencillamente imposible, pues sus curvaturas son diferentes. Y si bien nuestro planeta no es una esfera perfecta, su curvatura es positiva en todas partes. Por lo tanto, nunca existirá un mapa perfecto de la Tierra, no importa cuál sea la escala empleada. Ciertamente, el viejo y popular mapa de Mercator admite mejoras que permiten corregir, entre otros aspectos, la excesiva distorsión de las regiones próximas a los polos (como Groenlandia o todo el continente antártico). Pero, necesariamente, esto involucrará nuevas imprecisiones en otras regiones. Por ejemplo, si se observa con atención el mapa de Narukawa, se constatará que el posicionamiento de varias partes del globo (especialmente África) es bastante incómodo. De cierta forma, lo que hace esta carta geográfica es «distribuir» la distorsión de manera más equilibrada, pero —repetimos— no es perfecta. Más aun, insinuar que este o cualquier otro mapa «resuelve el espinoso problema de proyectar un planeta esférico en un plano» es un despropósito comparable a afirmar que «se acaba de resolver el milenario problema de la cuadratura del círculo» (capítulo 8).

Así que ya lo sabe: si desea una representación fidedigna de la Tierra, tenga claridad de que siempre lo mejor será invertir en un globo terráqueo. Definitivamente, vale la pena.

Lamento, con este capítulo, desencantar a muchas personas que habían reaccionado entusiastamente frente al anuncio desmesurado de la BBC y otros medios —si bien algunos difundieron la información de manera certera—, y habían compartido la noticia del «mapa perfecto» de Narukawa en las redes sociales. Pero así como en ciencia se trabaja incansablemente en la búsqueda de la verdad, la prensa de divulgación científica debiese velar porque este aspecto prime en sus contenidos, y que no sea el número de likes en Facebook el aspecto decisivo para una decisión editorial en torno a un artículo.

No siempre la verdad es lo más popular.

Apéndice: mapas, mapas y más mapas

Existe una gran variedad de mapas del mundo, cada uno de los cuales se ajusta a una u otra necesidad (muchos de ellos aparecen desplegados en Wikipedia. El más popular de todos, aquel ideado por Gerardus Mercator en 1569, resulta de proyectar horizontalmente cada punto de un globo terráqueo apoyado en el polo sur hacia un cilindro que lo rodea, para luego «abrir» dicho cilindro a lo largo de un meridiano. En este proceso, ambos polos literalmente «explotan», y la Antártica deviene una suerte de monstruo blanco en el sur. De esta manera, pese a que este mapa tiene algunas propiedades geométricas muy agradables, la distorsión de superficies en las regiones alejadas del ecuador lo hace, al menos, «políticamente incorrecto».

Si se desea restaurar la proporción entre las áreas de las diversas regiones, un método natural consiste en «achatar verticalmente» el mapa hacia los extremos inferior y superior. Esta idea fue desarrollada por Johann Lambert en 1772. Sin embargo, hoy es más popular una implementación ideada por James Gall en 1875 y «redescubierta» por Amo Peters en 1973. El ahora llamado «mapa de Gall-Peters» es recomendado por la Unesco para instruir sobre la real proporción de las superficies de los distintos territorios, tanto así que es ampliamente utilizado en las escuelas de Inglaterra.

A la izquierda: mapa de Mercator. A la derecha: mapa de Gall-Peters.

Los diseños de Lambert y de Gall-Peters no fueron, sin embargo, los primeros en representar fielmente las áreas de los distintos territorios. Alrededor del año 1500, Johannes Stabius ya había desarrollado el amable mapa con forma de corazón ilustrado a inicios de este capítulo, el cual verifica esta propiedad (posteriormente, fue perfeccionado por Johannes Werner, de modo que suele llamársele mapa de Stab-Werner).

Existe otro tipo de proyección del globo terráqueo, esta vez hacia un disco (y a lo largo de circunferencias), en la cual las proporciones de las superficies de las regiones también son preservadas. Se trata de la así llamada proyección acimutal de Lambert (ilustrada a la izquierda), actualmente utilizada en el logo de las Naciones Unidas (ilustrado a la derecha).

Si bien el mapa de Narukawa no respeta fielmente las proporciones entre las áreas de los territorios, tampoco las distorsiona demasiado. Esto permite, a su vez, no incurrir en severas distorsiones de las formas de los continentes, como ocurre con el mapa de Gall-Peters. Es justamente este equilibrio lo que hace tan notable esta nueva carta geográfica.

Matemáticamente, podría pensarse en establecer un sistema de medición del grado de imperfección de un mapa. Determinar, bajo este parámetro, cuál es el mejor mapa deviene entonces un problema planteado sin ambigüedad. Su solución, lamentablemente, no parece en absoluto sencilla. ¿Será que alguna vez podamos decir «a ciencia cierta» que hemos encontrado el mejor mapa de todos? Permítanme ser optimista al respecto.