■■El matemago

La curiosidad era en Alicia más fuerte que el miedo, como ya se ha dicho, de modo que, sin pensárselo dos veces, comenzó a descender por la oscura escalera, de la que no se veía el fondo.

Llegó por fin a un pasadizo horizontal, igualmente oscuro, al fondo del cual brillaba una tenue luz ambarina. Hacia allí se dirigió (ya no podía retroceder, pues la losa se había vuelto a cerrar sobre su cabeza al poco de iniciar el descenso), y el pasadizo la llevó a una amplia sala iluminada por cinco poliedros blancos que parecían flotar en el aire y emitir luz propia. Se trataba de los cinco sólidos platónicos: un tetraedro regular, un cubo, un octaedro, un dodecaedro y un icosaedro.

Al fondo de la sala, sentado en un gran trono de piedra, había un anciano de larga barba blanca leyendo un libro. Llevaba una túnica negra hasta los pies y un puntiagudo cucurucho en la cabeza, como los magos de los cuentos, sólo que con cifras y signos aritméticos en lugar de estrellas.

—Acércate —dijo el extraño personaje, sin levantar la vista del libro.

Cuando Alicia estuvo a su lado, le mostró la página que estaba leyendo, donde había una tabla cuadriculada llena de números.

—¿Qué es eso? —preguntó la niña.

—Una pequeña tabla adivinatoria.

—¿Eres un mago?

—Un matemago: practico las artes matemágicas. Piensa un número del 1 al 15 y dime en cuáles de estas cuatro columnas, está.

—En la primera y en la cuarta —dijo Alicia tras unos segundos.

—Es el número 9 —afirmó inmediatamente el matemago.

—Te sabes la tabla de memoria.

—En matemáticas no hay que utilizar la memoria, sino la inteligencia. En cuanto te explique cómo funciona esta tabla, tú también podrás utilizarla o incluso elaborar tu propia tabla.

—Estupendo, me encantan los trucos.

—Pues este pequeño truco matemágico se basa en una interesante propiedad de la serie de las potencias de 2…

—¿Qué es eso?

—Ya conoces esa serie: es la misma que la de los granos de trigo en el tablero de ajedrez: 1, 2, 4, 8, 16… Ir duplicando el número de granos en cada casilla es como multiplicar por 2 una y otra vez, y así obtenemos la serie de las potencias de 2.

Alicia iba a preguntarle cómo sabía que ella conocía la historia de los granos de trigo y el ajedrez, pero el matemago pasó las páginas del libro y le mostró una columna de igualdades. Aunque, más que una columna, aquello parecía una escalera.

—¿Por qué 2⁰ es 1? —quiso saber la niña.

—Buena pregunta… ¿Sabrías dividir 2⁵ por 2²? Puedes hacer las operaciones oralmente.

—Sé hacer algunas operaciones mentalmente, pero ¿cómo se hacen oralmente?

—En voz alta.

Alicia pensó que el matemago estaba un poco chiflado. ¿De qué servía hacer las operaciones en voz alta? Si no se anotaban en un papel o una pizarra, no se ganaba nada verbalizándolas. Sin embargo, decidió seguirle la corriente y empezó a decir:

—Como 2 a la quinta es 2 × 2 × 2 × 2 × 2…

Pero se quedó muda al ver que, a medida que los nombraba, los números y los signos salían de su boca como nubecillas de humo, y se quedaban flotando en el aire ordenadamente.

2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Eran números grandes y brillantes, que parecían hechos de un humo purpúreo dotado de luz propia.

—Sigue —la animó el matemago.

—Bueno, eso da 32, dividido por 2 al cuadrado, que es 2 × 2, o sea, 4, da 8.

Mientras lo decía, fueron saliendo de su boca nuevas cifras y signos, que se añadieron a los anteriores.

—Muy bien —dijo el matemago—, pero podemos hacer la división directamente, sin necesidad de multiplicar todos esos doses.

Agitó los números flotantes con las manos, y se reordenaron del siguiente modo:

—¿Y ahora? —preguntó Alicia.

—Ahora podemos simplificar la fracción de la derecha dividiendo dos veces por 2 el numerador y el denominador, o lo que es lo mismo, quitamos dos doses arriba y dos abajo, y nos queda 2 × 2 × 2, o sea, 2 al cubo —contestó el matemago, y con un rápido gesto redujo la igualdad a:

—Sí, así es más fácil —admitió Alicia.

—Y ahora fíjate bien: lo que hemos hecho ha sido restar de los cinco doses del numerador los dos del denominador, o sea, hemos restado los exponentes: 5 − 2 = 3, y ese 3 es el exponente del resultado: 2³ o cubo. Si ahora tuviéramos que dividir, por ejemplo, 2⁹ por 2⁵…

—Como 9 − 5 = 4, el cociente será 2⁴, o sea, 16 —concluyó la niña.

—Exacto. Para dividir potencias de un mismo número, simplemente se restan los exponentes. Ahora divide 2³ por 2³

—Eso es una trivialidad. Cualquier número dividido por sí mismo es igual a 1.

—Sí, pero hazlo restando los exponentes, como acabamos de ver.

—Los dos exponentes son 3, o sea, 3 − 3 = 0… ¡Cero!

—Así es: 2³ dividido 2³ = 2⁰. Pero como tú muy bien has señalado, un número partido por sí mismo es 1, luego 2⁰ = 1. Y lo que hemos hecho con el 2, podríamos haberlo hecho con cualquier otro número, evidentemente. Así que todo número elevado a la potencia 0 es igual a 1.

—Qué curioso —comentó Alicia.

—Pues más curiosa aún es la serie de las potencias de 2. Todos los números naturales son, o bien potencias de 2, o bien la suma de varias potencias de 2 distintas; y lo que es más importante: cada número sólo puede expresarse de una única manera en función de las potencias de 2.

Mientras decía esto, el matemago pasó las páginas del libro y le mostró a Alicia una lista.

—¿Y eso es tan especial? —preguntó la niña al verla.

—Mucho. También podemos, por ejemplo, expresar cualquier número como suma de impares distintos, pero no de una forma única. Así, 16 es 9 + 7, pero también es 1 + 3 + 5 + 7: hemos expresado un mismo número de dos formas distintas como suma de impares. Sin embargo, en la serie 1, 2, 4, 8, 16, …, cualquier agrupación de sus términos da una suma distinta.

—¿Y eso para qué sirve?

—Podríamos hablar mucho de las propiedades de esta interesantísima serie…

—No, mucho no, por favor —rogó Alicia—, que entonces sería como una clase de mates.

—De acuerdo, entonces sólo te diré que sirve para componer una tabla como la que antes te he mostrado. Ahora te explicaré cómo se elabora y así podrás montar tu propio espectáculo de matemagia. Para empezar, tomamos los cuatro primeros términos de la serie: 1, 2, 4 y 8. Podríamos tomar más, pero entonces la tabla sería muy grande. Con estos cuatro términos, podemos expresar, en forma de sumas, los números del 1 al 15, que dispondremos de la siguiente forma…

El matemago fue nombrando números, que salieron de su boca como nubecillas de humo purpúreo y se ordenaron en columnas.

—¿Por qué están en ese orden?

—Es muy sencillo: 3 es 1 + 2, luego lo ponemos en la columna del 1 y en la del 2; 5 es 1 + 4, luego lo ponemos en la columna del 1 y en la del 4; 6 es 2 + 4, luego lo ponemos en la columna del 2 y en la del 4; 7 es 1 + 2 + 4…

—Luego lo ponemos en la columna del 1, en la del 2 y en la del 4; ya lo entiendo, pero ¿para qué sirve? —preguntó Alicia.

—Si ahora tú me dices, por ejemplo, que un número está en la primera columna y en la cuarta, no tengo más que sumar 1 + 8 para saber que es el 9; si está sólo en la tercera columna, es el 4; si está en la primera, la segunda y la cuarta, es 1 + 2 + 8 = 11; si está en todas, es 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

—Ya veo. La tabla que me has enseñado antes es la misma que ésta, sólo que con los números de cada columna cambiados de orden.

—Claro; una vez hecha la tabla, puedes poner los números de cada columna en el orden que quieras, para que no se note el truco.

—Muy astuto —reconoció Alicia—. Yo sé un truco para sumar deprisa; puedo sumar los números del 1 al 100 en un santiamén.

—Y también sabes sumar los términos de la serie 1, 2, 4, 8, 16, …

—Sí, lo he aprendido al ver lo de los granos de trigo y el tablero de ajedrez. Es muy fácil: la suma es el doble del último menos 1; por ejemplo:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 2 × 64 − 1 = 127

—Muy bien —la felicitó el matemago, con una sonrisa de satisfacción.

—¿Sabes algún otro truco para sumar deprisa? —preguntó la niña.

—Sí, claro —contestó el anciano. Se quitó el puntiagudo gorro constelado de cifras y de su interior sacó…