Das ist Zauberei: Ihre Zuschauer denken sich eine Zahl aus, rechnen damit ein bisschen herum – aber Sie kennen schon vorab das Ergebnis. Richtig baff ist Ihr Publikum dann spätestens, wenn Sie im Kopf auch noch die fünfte Wurzel aus einer zehnstelligen Zahl ziehen.

Es gibt Momente, in denen Mathematik wie Hexerei erscheint. Denken Sie nur an die Schnellrechenmethode von Trachtenberg im vorherigen Kapitel. Tatsächlich kann man mehrstellige Zahlen mit 7, 8 oder 9 multiplizieren – und muss dazu nur ein paar simple Additionen ausführen. Das ist spannend, aber nicht unbedingt partytauglich.

In diesem Kapitel möchte ich Ihnen eine Reihe mathematischer Zaubertricks vorstellen, mit denen Sie Bekannte, Freunde und Familie verblüffen können. Vom Kalenderrechnen haben Sie vermutlich schon gehört. Aber von den Kunststücken mit Zahlen und Geburtstagen, mit denen Sie den Eindruck erwecken können, Gedanken zu lesen, wahrscheinlich noch nicht.

Fangen wir mit einem klassischen Kopfrechentrick an. Ich denke mir eine beliebige zweistellige Zahl aus und berechne mit dem Taschenrechner ihre 3. Potenz, auch Kubikzahl genannt. Diese Kubikzahl nenne ich Ihnen, nehmen wir als Beispiel 185.193. Ihre Aufgabe ist es nun, die dritte Wurzel aus dieser Zahl zu ziehen – natürlich ohne Taschenrechner.

Die Lösung lautet übrigens 57. Es scheint kaum möglich zu sein, solche Berechnungen im Kopf durchzuführen. Aber es geht. Kopfrechenkünstler bekommen das hin – und Sie auch, wenn Sie den Trick verstanden haben.

Nehmen wir eine andere Kubikzahl: 681.472. Wie findet man ihre dritte Wurzel? Die Zahl ist deutlich größer als 57³ = 185.193. Also wird ihre dritte Wurzel auch größer sein als 57 – doch so richtig hilft uns diese Erkenntnis nicht weiter.

Wir können die dritte Wurzel aus 681.472 trotzdem rasant schnell im Kopf ziehen, wenn wir zunächst die Einerstelle der gesuchten Zahl ermitteln und dann ihre Zehnerstelle schätzen. Um den Trick vorführen zu können, sollten Sie die dritten Potenzen der Zahlen von 1 bis 10 möglichst auswendig kennen:

Diese Kubikzahlen liefern uns schon mal den ersten Hinweis – und zwar auf die Einerstelle der gesuchten dritten Wurzel. Schauen Sie sich bitte die Einerstellen der Kubikzahlen von 1 bis 10 an:

Fällt Ihnen etwas auf? Die Kubikzahlen enden alle auf unterschiedliche Ziffern. Außer bei 2, 3, 7 und 8 entspricht die letzte Ziffer sogar genau der Ausgangszahl.

Wenn wir die letzte Ziffer der gesuchten dritten Wurzel herausfinden wollen, brauchen wir uns also bloß die letzte Ziffer der gegebenen Kubikzahl anzuschauen. Im Fall von 681.472 ist das eine 2 – also endet unsere Kubikwurzel auf 8.

Die Einermethode

Eine kurze Erklärung dazu: Wenn a und b natürliche Zahlen sind und b einstellig ist, können wir jede beliebige natürliche Zahl in der Form 10a + b darstellen. b ist dabei die letzte Ziffer der Zahl, die Einerstelle. Die dritte Potenz berechnen wir folgendermaßen:

Alle Terme außer b³ sind Vielfache von 10 und beeinflussen die letzte Ziffer der Kubikzahl nicht. Über die letzte Ziffer entscheidet daher allein der Term b³. Deshalb können wir aus der letzten Ziffer einer Zahl leicht die letzte Ziffer ihrer Kubikzahl berechnen. Und weil die Kubikzahlen von 0 bis 9 auf unterschiedliche Ziffern enden, können wir umgekehrt aus der Einerstelle einer Kubikzahl auch die Einerstelle der Ausgangszahl ermitteln.

Den Einer kennen wir also schon, es ist eine 8, fehlt noch der Zehner – die gesuchte Lösungszahl ist ja laut Vorgabe zweistellig. Um den Zehner zu finden, streichen wir von der Kubikzahl 681.472 die letzten drei Ziffern weg und schauen noch mal in die Tabelle der Kubikzahlen von 1 bis 10. Die Zahl 681 liegt zwischen der dritten Potenz von 8 und 9, also liegt 681.472 zwischen 80³ und 90³. Die Lösung muss daher 88 sein – und das stimmt auch.

Jetzt sind Sie dran! Berechnen Sie die dritten Wurzeln folgender Zahlen:

Die Lösungen lauten 27, 66, 93, 24.

Der Trick mit der letzten Ziffer funktioniert bei der fünften Potenz sogar noch besser, wie folgende Tabelle beweist:

Die letzte Ziffer einer fünften Potenz entspricht nämlich genau dem Einer der Ausgangszahl. Sie können das gleiche Spiel also auch mit fünften Potenzen spielen, müssen sich dafür aber die Tabelle links einprägen.

Ein Beispiel: Ein Bekannter sagt Ihnen die Zahl 601.692.057. Wie ist deren fünfte Wurzel? Sie endet auf jeden Fall auf 7. Um die Zehnerstelle zu ermitteln, streichen Sie nicht die letzten drei, sondern die letzten fünf Stellen. 6016 liegt zwischen 5⁵ und 6⁵ – also ist 57 die Lösung.

Für Sie zum Üben: Berechnen Sie die fünften Wurzeln folgender Zahlen:

Wenn Sie alles richtig gemacht haben, müssten Sie folgende Ergebnisse haben: 29, 63, 99, 44.

Rechnen wie ein Weltmeister

Den Trick mit der letzten Ziffer nutzen übrigens auch Zahlengenies wie Gert Mittring. Der deutsche Rechenweltmeister kann im Kopf binnen weniger Sekunden die 13. Wurzel aus einer hundertstelligen Zahl ziehen. Er benötigt dazu allerdings noch einen weiteren Trick: das schnelle Logarithmieren und Delogarithmieren im Kopf.

Bei seinem Weltrekord im Jahr 2004 bekam er die hundertstellige Aufgabenzahl 7 066 437 381 674 286 102 234 008 830 240 157 375 704 233 170 702 632 731 269 721 516 000 395 709 065 419 973 141 914 549 389 684 111. Die Frage war: Wie lautet die 13. Wurzel?

Mit seiner Logarithmusmethode (mehr darüber erfahren Sie unter Quellen am Ende des Buches) konnte Mittring die ungefähre Lösung berechnen, und zwar 47.941.067. Für die letzten zwei Stellen griff der Zahlenkünstler dann zu einer ähnlichen Methode wie wir bei den Kubikzahlen. Weil die hundertstellige Zahl auf 11 endet, müssen die letzten beiden Ziffern der 13. Wurzel 71 sein. Mittring hat die letzten zwei Ziffern aller 13. Potenzen von 1 bis 100 nämlich im Kopf.

Damit hatte er die richtige Lösung 47.941.071 gefunden – in nur 11,6 Sekunden! Kurze Zeit später unterbot der Franzose Alexis Lemaire die Zeit von Mittring sogar noch. Lemaire wandte sich danach 200-stelligen Zahlen zu. Die 13. Wurzel aus solch einem Giganten zieht er in etwas mehr als einer Minute.

War der 15. März 1924 ein Montag?

Ein Trick, der mich immer wieder beeindruckt, ist das Kalenderrechnen. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Datum den Wochentag zu ermitteln. Es kann Ihr Geburtstag sein oder ein historisches Datum. Nehmen wir als Beispiel den 15. März 1924.

Es gibt verschiedene, sich ähnelnde Methoden, den zugehörigen Wochentag herauszufinden. Ich möchte Ihnen hier einen allgemeingültigen Berechnungsweg vorstellen, der ohne weitere Anpassungen für beliebige Datumsangaben funktioniert.

Beim Kalenderrechnen gehen wir von einem festen Datum aus, dessen Wochentag wir kennen. Der 1.1.1900 beispielsweise war ein Montag. Anschließend berechnen wir, wie sich der Wochentag verschiebt, wenn wir das Datum ändern. Diese Verschiebung wird beeinflusst von der Jahreszahl, dem Monat und der Tageszahl.

Bei der Kalkulation nutzen wir die Funktion Modulo. Sie berechnet den Rest einer natürlichen Zahl beim Teilen durch eine andere natürliche Zahl. Wie Modulo funktioniert, versteht man am schnellsten an konkreten Beispielen: 7 mod 2 (sprich 7 modulo 2) ist beispielsweise 1, denn 7 geteilt durch 2 lässt den Rest 1.

Was ist 8 mod 2? 8 ist glatt durch 2 teilbar, der Rest ist deshalb 0 und daher gilt auch 8 mod 2 = 0.

Noch ein drittes Beispiel: 45 mod 7. 45 ist nicht durch 7 teilbar, das nächstkleinere Vielfache von 7 ist 42 ( = 6 × 7). 45 ist 3 größer als 42, also gilt 45 mod 7 = 3. Hier noch mal alle drei Modulo-Rechnungen im Überblick:

Zurück zum Kalenderrechnen: Um den Wochentag eines gegebenen Datums herauszufinden, benötigen wir fünf verschiedene Zahlen.

1. Tageszahl: Die Tageszahl wird aus dem Tag im Monat wie folgt berechnet:

Für den 15. März 1924 lautet die Tageszahl 15 mod 7 = 1.

2. Monatszahl: Sie können sich diese Zahlen Monat für Monat herleiten, besser ist aber, sie sich einzuprägen:

Die Monatszahl für den 15. März 1924 ist 3.

Zur Herleitung der Monatszahl: Der Januar hat die Monatszahl 0. Er hat 31 Tage, 31 mod 7 = 3 – also verschiebt sich der Wochentag vom 1. Januar zum 1. Februar um 3 Tage. Ist der 1. 1. zum Beispiel ein Montag, dann ist der 1. 2. ein Donnerstag. Deshalb hat der Februar die Monatszahl 3. Der Februar hat regulär 28 Tage – zu Schaltjahren kommen wir später. Es gilt: 28 mod 7 = 0, also hat auch der März die Monatszahl 3. Für die Folgemonate rechnen Sie auf diese Weise weiter.

3. Jahreszahl: Jetzt wird die Rechnung etwas komplizierter. Sie nehmen die letzten beiden Ziffern des Jahres, im Falle 1924 also 24, und führen damit folgende Kalkulation aus:

Mit diesem Rechenschritt wird auch das Schaltjahr berücksichtigt. Wichtig: Bei der Division der zweistelligen Jahreszahl durch 4 nehmen Sie das ganzzahlige Ergebnis. Beispielsweise gilt 5/4 = 1, 6/4 = 1 und 12/4 = 3.

Für 1924 ergibt sich folgende Rechnung:

4. Jahrhundertzahl: Hier wird ähnlich vorgegangen wie bei der Jahreszahl. Nur dass wir mit den ersten beiden Ziffern der Jahresangabe rechnen, bei 1924 also mit 19. Die Formel lautet:

Beim 15. März 1924 rechnen wir:

Die Jahrhundertzahl kann nur vier verschiedene Werte haben: 0, 2, 4 oder 6. Mit der Jahrhundertzahl wird berücksichtigt, dass durch 100 teilbare Jahreszahlen wie 1800 keine Schaltjahre sind, mit der Ausnahme, dass Vielfache von 400 wie 1600 oder 2000 doch Schaltjahre sind.

5. Schaltjahreskorrektur: Sofern das Datum im Januar oder Februar eines Schaltjahrs liegt, müssen wir eine 1 abziehen oder eine 6 addieren – es ist egal, ob Sie einen Tag in der Woche zurückgehen oder sechs nach vorn.

1924 war zwar ein Schaltjahr, aber unser Datum, der 15. März, liegt weder im Januar noch im Februar. Also entfällt die Schaltjahreskorrektur.

Nun haben wir alle nötigen Zahlen berechnet, um den Wochentag für den 15. März 1924 herauszufinden. Wir addieren alle Zahlen und erhalten:

Das bedeutet, dass der 15. März 1924 der sechste Wochentag, also ein Samstag war. Wenn die Summe der fünf Zahlen größer als 7 ist, berechnen wir Modulo 7 dieser Zahl und haben sofort die Nummer des Wochentags. Wenn Modulo 7 = 0 ist, dann handelt es sich um einen Sonntag.

Haben Sie Lust, das Kalenderrechnen selbst einmal auszuprobieren? Versuchen Sie sich am besten zuerst mit den folgenden drei Daten – und dann natürlich noch mit Ihrem Geburtstag.

Wenn Sie beim Jonglieren mit Tages-, Monats- und Jahreszahl alles richtig gemacht haben, dann müssten Sie in allen drei Fällen auf das gleiche Ergebnis gekommen sein: Donnerstag.

Zaubern mit Fibonacci-Zahlen

Weiter geht’s mit echter Zahlenmagie. Im Handumdrehen 8 Zahlen addieren – das ist nicht so einfach. Sofern die 8 Zahlen zufällig ausgewählt sind, dauert das Rechnen eine gewisse Zeit. Wenn die 8 Zahlen aber nach bestimmten Regeln berechnet wurden, existiert womöglich eine clevere Abkürzung, mit der Sie die Summe praktisch sofort hinschreiben können.

Ein Beispiel dafür sind die Fibonacci-Zahlen. Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci hat vor mehr als 800 Jahren eine Zahlenfolge beschrieben, mit der man das Wachstum einer Kaninchenpopulation berechnen kann. Die Regeln dieser Folge werden wir für unseren Rechentrick benutzen.

Sie bitten eine Person, sich zwei natürliche Zahlen auszudenken, Ihnen diese Zahlen aber nicht zu nennen. Nun erklären Sie dem Zuschauer, wie er acht weitere Zahlen ausrechnet: Er schreibt die beiden gewählten Zahlen untereinander an die Tafel. Die nächste Zahl, die unter die beiden Vorgänger geschrieben wird, ist genau die Summe der beiden über ihr stehenden Zahlen.

Sie können das gern an einem Beispiel erläutern: Wählt man 2 und 3, ist die dritte Zahl 2 + 3 = 5. Als vierte Zahl ergibt sich 3 + 5 = 8, als fünfte 5 + 8 = 13 und so weiter – also jeweils die Summe der beiden darüberstehenden. Insgesamt 8 Zahlen muss Ihr Zuschauer auf diese Weise berechnen, sodass am Ende genau 10 Zahlen an der Tafel stehen. Sie als Magier drehen der Tafel natürlich den Rücken zu, während der Kandidat dort rechnet und das Ergebnis nicht an der Tafel, sondern auf einem Zettel notiert.

Nehmen wir an, als Ausgangszahlen wurden 23 und 79 gewählt. Dann stehen an der Tafel folgende 10 Zahlen:

Nun drehen Sie sich um, gehen zur Tafel und schreiben sofort die Summe dieser acht Zahlen darunter: 8217.

Der Trick funktioniert folgendermaßen: Sie nehmen die viertletzte Zahl, also die 747, und multiplizieren diese mit 11. Das geht ziemlich einfach, wie Sie aus den Kapiteln 1 und 6 wissen. Sie rechnen zu jeder Ziffer die rechts daneben stehende hinzu.

Sie können Ihre Zuschauer gern nachrechnen lassen – sie werden lange tippen und dann auf dasselbe Ergebnis kommen.

Es ist nicht schwer zu beweisen, dass der Trick immer funktioniert. Wenn die beiden Ausgangszahlen a und b sind, ergeben sich folgende zehn Zahlen

Die Summe dieser zehn Zahlen kann ich folgendermaßen berechnen:

Diese Summe entspricht genau dem Elffachen der viertletzten Zahl 5a + 8b – damit ist klar, wie dieser Trick funktioniert.

Zahl vorhersagen

Sehr hübsch ist der Trick, bei dem man auf magische Weise das Ergebnis einer langen Rechnung vorhersagt, ohne die Zahl zu kennen, die sich ein Zuschauer zu Beginn der Rechnung ausgedacht hat. Das Ganze funktioniert, weil bei der Rechnung unabhängig von der verwendeten Ausgangszahl immer dasselbe Ergebnis herauskommt, was nicht so leicht zu durchschauen ist.

Nehmen wir folgendes Beispiel: Sie bitten den Zuschauer, sich eine Zahl auszudenken, diese aber für sich zu behalten. Dann bitten Sie ihn, folgende Rechenoperationen mit dieser Zahl durchzuführen:

1. Verdoppeln Sie die Zahl.
2. Addieren Sie 8 hinzu.
3. Teilen Sie das Ergebnis durch 2.
4. Ziehen Sie die ursprüngliche Zahl davon ab.

Das Ergebnis lautet 4 – und Ihr Zuschauer wird jedes Mal erstaunt nicken. Warum? Das beweist die folgende Rechnung für eine beliebige natürliche Zahl a, die sich der Zuschauer ausgedacht hat. Er macht damit nach Ihrer Vorgabe folgende Rechenschritte:

Sie können die Rechnung gern auch etwas variieren, indem Sie statt 8 eine beliebige gerade Zahl addieren (in Schritt 2). Wenn Sie ansonsten nichts an der Berechnung ändern, wird das Ergebnis die Hälfte der von Ihnen selbst gewählten Zahl sein, die Sie den Zuschauer in Schritt 2 haben addieren lassen.

Etwas komplizierter in den Rechenschritten und damit für Ihr Publikum noch verwirrender ist folgender Trick. Wieder wählt der Zuschauer eine Zahl und kalkuliert damit nach Ihren Anweisungen:

1. Addieren Sie 11.
2. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 2.
3. Subtrahieren Sie dann davon 20.
4. Nehmen Sie das Ergebnis mal 5.
5. Subtrahieren Sie das Zehnfache der gedachten Zahl.

Sie können dem Zuschauer sofort das Ergebnis sagen – es lautet 10, egal, welche Zahl er sich ausgedacht hat. Der Beweis dafür ist nicht schwer. Wenn a die vom Zuschauer gewählte Zahl ist, rechnet er:

Rechnen mit Spiegelzahlen

Noch ein ganzes Stück rätselhafter ist folgende magische Kalkulation, bei der Sie ebenfalls das Ergebnis einer Rechnung mit einer Ihnen unbekannten Zahl vorhersagen.

Ein Zuschauer soll sich eine beliebige dreistellige Zahl ausdenken. Einzige Bedingung: Die erste Ziffer, die Hunderterstelle, ist mindestens 2 größer als die letzte Ziffer, der Einer. Nehmen wir beispielsweise 632. Dann soll der Zuschauer mit 632 folgende Operationen ausführen:

Warum kommt dabei immer 1089 heraus? Wir schauen uns die Rechnung für eine beliebige dreistellige Zahl mit den Ziffern abc an, wobei a mindestens um 2 größer ist als c. a, b und c sind einstellige natürliche Zahlen – die vom Zuschauer gewählte Zahl ist dementsprechend 100a + 10b + c.

Wir führen nun die Schritte 1 bis 4 aus und beobachten, was mit den Ziffern geschieht. Die vier Spalten in der Tabelle stehen für die 1000er-, 100er-, 10er- und Einerstelle.

Weil a größer als c ist, müssen wir an der Einerstelle noch etwas tun, denn c – a ist eine negative Zahl. Der Einer lautet deshalb 10 – (a – c) und dementsprechend ist der Zehner nicht mehr 0, sondern 9 und auch der 100er sinkt um 1 von a – c auf a – c – 1. Jetzt können wir die Spiegelzahl des Ergebnisses bilden und beide Zahlen addieren – beginnend mit den Einern.

Die Addition ergibt bei der 100er-Stelle 10, und das ist beim schriftlichen Rechnen 0 und 1 gemerkt. Die gemerkte 1 wird zur 1000er-Stelle, und wir haben als Ergebnis 1089 – egal welchen Wert a, b und c haben. Das nenne ich Magie!

Noch mehr Zahlentricks finden Sie im Aufgabenteil am Ende des Kapitels. Dort können Sie selbst versuchen zu beweisen, warum die Tricks funktionieren.

Rechnen mit dem Geburtsjahr

In einem weiteren Zahlenkunststück geht es um das Geburtsjahr eines Zuschauers. Sie bitten ihn, zu seinem Geburtsjahr die Zahl 25 zu addieren und dann auch noch sein Alter. Der Zuschauer behält sein Geburtsjahr, sein Alter und das Ergebnis natürlich für sich. Dann stellen Sie ihm noch eine weitere Frage: „An welchem Tag im Jahr feiern Sie Geburtstag? Ich benötige nur den Tag und den Monat.“

Der Zuschauer nennt Ihnen das Datum, beispielsweise den 10. April, und Sie müssen nun ein bisschen schauspielern. „Mmh, der 10. April? Das ist eine besondere astrologische Konstellation, da muss ich genau überlegen …“

Sie müssen in der Tat etwas überlegen: Hatte der Zuschauer im laufenden Jahr schon Geburtstag? Ist das der Fall, dann addieren Sie zum aktuellen Jahr, beispielsweise 2013, die Zahl 25 und erhalten 2038. Sie können das Ganze noch etwas geheimnisvoller machen, indem Sie sagen: „Also 7 passt nicht zum Monat, 9 ist zu nah am 10. April. Das kann eigentlich nur eine 8 sein. Die Zahl, die Sie ausgerechnet haben, endet mit einer 8. Und davor steht 204? Nein, 203. Das Ergebnis lautet 2038, stimmt’s?“ Der Zuschauer wird verblüfft nicken.

Falls sein Geburtstag im aktuellen Jahr noch nicht war, addieren Sie zur aktuellen Jahreszahl nicht 25, sondern nur 24. Fürs Jahr 2013 lautet das Ergebnis dann 2037. Auch dafür finden Sie sicher eine wunderbar mysteriös klingende Erklärung.

Das Geheimnis dieses Rechenkunststücks besteht im Zusammenrechnen von Geburtsjahr und derzeitigem Alter. Denn die Summe ergibt zwangsläufig das aktuelle Jahr. Weil Sie den Zuschauer aber zuerst 25 zu seinem Geburtsjahr addieren lassen, fällt ihm das bei seiner Rechnung nicht auf.

Wenn Sie mehrere Personen nacheinander beeindrucken wollen, variieren Sie die zum Geburtsjahr zu addierende Zahl einfach. Statt 25 nehmen Sie mal 112, mal 83 – und passen das Ergebnis entsprechend an. So ergibt sich bei jeder Person eine andere Zahl.

Von Albrecht Beutelspacher, dem Gründer des Mathematikums in Gießen, kenne ich noch eine andere Variante dieses Tricks:

1. An wie vielen Abenden in der Wochen würden Sie gerne ausgehen, wenn Sie könnten? Multiplizieren Sie diese Zahl mit 2.
2. Addieren Sie 5.
3. Nehmen Sie das Ergebnis mal 50.
4. Wenn Sie in diesem Jahr schon Geburtstag hatten, dann addieren Sie 1763. Wenn nicht, dann addieren Sie 1762.
5. Ziehen Sie davon Ihr Geburtsjahr ab. (Das Geburtsjahr ist vierstellig!)

Das Ergebnis sollte eine dreistellige Zahl sein. Die erste Ziffer ist die Anzahl der Abende, an denen Sie wöchentlich ausgehen wollen. Die beiden letzten Ziffern entsprechen Ihrem Alter! Falls das Ergebnis zweistellig ist, dann wollen Sie am liebsten an null Abenden pro Woche ausgehen.

Diese Rechnung klappt so allerdings nur im Jahr 2013. Für 2014 müssen Sie beim vierten Schritt 1764 beziehungsweise 1763 addieren. Für jedes Jahr später erhöhen Sie die Zahlen jeweils um 1. Schauen wir uns an, wie die Rechnung im Jahr 2013 funktioniert:

Sie möchten an a Abenden ausgehen, a kann jeden Wert von 0 bis 7 annehmen. Dann rechnen wir bei den Schritten 1 bis 3:

Wir nehmen an, Sie hatten in diesem Jahr schon Geburtstag und sind b Jahre alt (b ist eine zweistellige Zahl!). Also lauten die Schritte 4 und 5:

Die Zahl b ist Ihr Alter und zweistellig, also sind die letzten beiden Ziffern des Ergebnisses genau Ihr Alter. Und die erste Ziffer lautet a, entspricht also genau der Zahl der Abende, an denen Sie ausgehen möchten.

Alter erraten

Äußerst raffiniert sind Rechnungen, bei denen wir mit dem Rest beim Dividieren durch 9 arbeiten. Sie erinnern sich an das dritte Kapitel. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Die Quersumme einer Zahl verrät uns aber noch mehr: Sie ist genau der Rest, den die Zahl bei der Division durch 9 lässt. Beispiel 33: Die Quersumme ist 3 + 3 = 6, und das ist auch der Rest, denn 33 : 9 = 3 Rest 6.

Die 9 wird uns helfen, das genaue Alter eines Unbekannten zu erraten. Sie bitten die Person, eine beliebige natürliche Zahl mit 9 zu multiplizieren und zum Ergebnis das eigene Alter zu addieren. Dann lassen Sie sich das Ergebnis der Rechnung sagen und bilden dessen Quersumme. Ist die Quersumme größer als 9, bilden Sie von der Quersumme erneut die Quersumme – und zwar so oft, bis Sie als Ergebnis eine Zahl erhalten, die nicht größer als 9 ist.

Nehmen wir an, die Person ist 42 Jahre alt und sucht sich 932 aus. Dann nennt sie Ihnen die Zahl 932 × 9 + 42 = 8430. Die Quersumme ist 15, was wir wiederum auf 6 reduzieren. Diese Quersumme entspricht nun aber genau dem Rest, den das Alter der Person beim Teilen durch 9 lässt. Also kann der Betreffende nur 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87 oder 96 sein. Es liegt an Ihnen, das tatsächliche Alter auszuwählen. Ist der Befragte 33, 42 oder 51? In der Regel dürften Sie das erkennen und sich für das richtige Alter entscheiden – im konkreten Fall für 42.

Kurze Erklärung des Tricks: Wenn Sie zum Alter das Neunfache einer beliebigen Zahl addieren, hat das Ergebnis den gleichen Rest bezüglich der Division durch 9 wie die Alterszahl. Die berechnete Quersumme von 6 entspricht deshalb genau dem Rest, den das Alter selbst beim Teilen durch 9 lässt.

Martin Gardner, der berühmte Sammler und Erfinder von Rätseln, hat vorgeschlagen, in die Altersvorhersage noch einen Geldschein einzubauen. Die vom Besucher gewählte Zahl soll dieser nicht mit 9, sondern mit der Seriennummer eines Geldscheins multiplizieren, den der Zauberer zufällig aus seiner Geldbörse zieht. Der Schein wurde freilich bewusst ausgewählt: Die Seriennummer ist durch 9 teilbar!

Fehlende Ziffer erraten

Der nächste Trick mit der 9 hat wieder mit vertauschten Ziffern zu tun. Sie bitten einen Zuschauer, eine beliebige zehnstellige Zahl aufzuschreiben. Sie als Mathemagier dürfen diese Zahl natürlich nicht sehen. Im nächsten Schritt soll der Zuschauer die Ziffern der zehnstelligen Zahl beliebig miteinander vertauschen und die Differenz von Ausgangszahl und durch Zifferntausch entstandener Zahl berechnen. Er zieht also von der größeren der beiden die kleinere ab.

Nehmen wir an, der Zuschauer hat die Zahl 9876543210 gewählt und mit vertauschten Ziffern 1928374650. Die Differenz ist 7948168560.

Anschließend nennt Ihnen der Zuschauer alle Ziffern des Ergebnisses in einer beliebigen Reihenfolge bis auf eine einzige, die er für sich behält. Welche das ist, kann er frei entscheiden.

Er entscheidet sich, die 8 für sich zu behalten, und sagt:

9, 7, 0, 4, 1, 6, 5, 8, 6.

Sie als Magier können ihm dann sofort sagen, wie die verheimlichte Ziffer lautet. Sie addieren die 9 Zahlen zusammen, kommen auf 46, wovon Sie so lange die Quersumme bilden, bis das Ergebnis nicht mehr größer als 9 ist. Sie erhalten erst 10 und dann 1. Nun ziehen Sie diese 1 von 9 ab und kennen die fehlende Ziffer: 8.

Sie ahnen wahrscheinlich längst, wie das Ganze funktioniert. Die beiden Zahlen, die der Zuschauer voneinander subtrahiert hat, bestehen aus denselben Ziffern und haben deshalb dieselbe Quersumme – also beim Teilen durch 9 auch denselben Rest. Wenn Sie diese beiden Zahlen voneinander subtrahieren, muss das Ergebnis eine durch 9 teilbare Zahl sein, weil sich die identischen Reste genau aufheben.

Damit ist klar, warum die Quersumme der Ergebniszahl selbst durch 9 teilbar ist. Die fehlende Ziffer erhalten Sie deshalb einfach, indem Sie von 9 die Quersumme der Ihnen genannten 9 Zahlen abziehen. Diese Quersumme müssen Sie solange nochmals berechnen, bis sie nicht mehr größer als 9 ist.

Allerdings gibt es bei der Rechnung eine kleine Falle: Hat der Zuschauer sich dafür entschieden, Ihnen die Ziffer 0 oder die 9 vorzuenthalten, dann können Sie nicht entscheiden, ob eine 0 oder eine 9 fehlt. Sie können das umgehen, indem Sie sagen, dass nur die Ziffern von 1 bis 9 erraten werden sollen, also keine 0. Oder aber Sie sagen: „Ist es eine Null? Wenn nicht, dann kann es nur noch, Moment, ich muss überlegen, eine 7 + 2 – 3 + 1, ähm, eine 9 sein.“

Hand aufs Herz: Hätten Sie gedacht, dass man mit Quersummen zaubern kann? Mich hat das schwer beeindruckt. Sie können die in diesem Kapitel beschriebenen Kunststücke übrigens noch weiter ausbauen. Die Berechnungen werden Ihrem Publikum noch unübersichtlicher erscheinen – und Sie locken es geschickt auf eine oder gleich mehrere falsche Fährten. Selbst gewieften Rechnern dürfte es schwerfallen, den eigentlichen Trick zu erkennen und zu durchschauen.

Noch mehr magische Mathekunststücke finden Sie im übernächsten Kapitel – dem letzten des Buches. Vorher soll es aber noch um eine ganz andere Leidenschaft gehen: das Sammeln von Bildern und Aufklebern.

Aufgaben

Aufgabe 31 ** 

Mit folgender Rechnung können Sie den Geburtstag einer Person herausfinden. Sie soll die Tageszahl ihres Geburtstages verdoppeln, 5 addieren und das Ergebnis mal 50 nehmen. Dazu muss sie dann die Monatszahl des Geburtstags addieren. Wenn Ihnen Ihr Gegenüber das Ergebnis der Rechnung nennt, können Sie sofort sagen, an welchem Tag und in welchem Monat dieser Geburtstag hat. Wie stellen Sie das an?

Aufgabe 32 ** 

Sie denken sich eine Zahl aus, multiplizieren sie mit 37, addieren 17, multiplizieren das Ergebnis mit 27, addieren 7 und dividieren das Ergebnis durch 999. Als Rest der Division erhalten Sie immer 466. Warum?

Aufgabe 33 ** 

Denken Sie sich drei verschiedene Ziffern. Addieren Sie alle sechs zweistelligen Zahlen, die Sie aus je zwei der gewählten Ziffern bilden können. Das Ergebnis teilen Sie durch die Summe der drei gewählten Zahlen. Zeigen Sie, dass dabei stets 22 herauskommt.

Aufgabe 34 ** 

Denken Sie sich zwei beliebige dreistellige Zahlen aus. Daraus bilden Sie zwei sechsstellige Zahlen, indem Sie die erste einmal vor die zweite und einmal dahinter schreiben. Berechnen Sie die Differenz beider Zahlen und teilen Sie das Ergebnis durch die Differenz der dreistelligen Ausgangszahlen. Heraus kommt immer 999. Warum?

Aufgabe 35 **** 

Zwölf Kinder haben alle im selben Jahr Geburtstag, aber jedes in einem anderen Monat. Jedes Kind hat die Tageszahl mit der Monatszahl seines Geburtstags multipliziert. Beispiel: Wäre der Geburtstag der 8. April, käme als Produkt 8 × 4 = 32 heraus. Die Kinder nennen folgende Produkte: Nina 153, Helena 128, Nicolas 135, Max 81, Ruby 42, Hannah 14, Leo 300, Marlene 187, Adrian 130, Bela 52, Paul 3, Lilly 49. Wer hat wann Geburtstag?