Lösungen

Aufgabe 1 * 

Die Summe von vier natürlichen Zahlen ist eine ungerade Zahl. Beweisen Sie, dass das Produkt dieser vier Zahlen dann eine gerade Zahl ist.

Alle vier Zahlen können nicht ungerade sein, denn dann wäre ihre Summe gerade. Deshalb ist mindestens eine der vier Zahlen gerade – und damit auch das Produkt der vier Zahlen.

Aufgabe 2 ** 

Karin hat 7 Tafeln Schokolade: 4 Vollmilch, 2 Zartbitter und 1 Nuss. Sie möchte 3 Tafeln ihrem Freund geben und 4 behalten. Wie viele Varianten gibt es?

Karin muss aus den 7 Tafeln 3 aussuchen und weggeben. Es gibt dafür insgesamt 6 Varianten:

1. 1 Nuss + 2 Zartbitter
2. 1 Nuss + 2 Vollmilch
3. 1 Nuss + Vollmilch + Zartbitter
4. 2 Zartbitter + Vollmilch
5. 1 Zartbitter + 2 Vollmilch
6. 3 Vollmilch

Aufgabe 3 *** 

Beweisen Sie folgenden Rechentrick für die Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen, deren Zehner gleich sind und deren Einer zusammen 10 ergeben. Wir rechnen Zehner × (Zehner +1) und hängen daran zweistellig das Produkt der beiden Einer an.

a und b sind einstellige natürliche Zahlen (a > 0), 10a + b und 10a + 10 – b sind die beiden gegebenen Zahlen. Wir rechnen:

Das Ergebnis entspricht genau der Rechenvorschrift, denn b und 10 – b sind die Einer, die wir miteinander multiplizieren.

Aufgabe 4 *** 

Die Zehner zweier zweistelliger Zahlen ergänzen sich zu 10, die Einer sind gleich. Warum funktioniert folgender Trick zur Berechnung des Produkts? Wir multiplizieren die Zehner und addieren dazu die Einerziffer. An das Ergebnis hängen wir dann zweiziffrig das Quadrat der Einer.

a und b sind einstellige natürliche Zahlen (a > 0), 10a + b und 10 ( 10 – a ) + b sind die beiden gegebenen Zahlen. Wir rechnen:

Das Ergebnis entspricht genau der verwendeten Rechenformel, denn a und 10 – a sind die Zehner der beiden Zahlen.

Aufgabe 5 **** 

Beweisen Sie den Rechentrick für die Multiplikation einer Schnapszahl mit 9:

a soll die Ziffer der Schnapszahl sein. Dann lautet die Multiplikationsaufgabe:

Das Produkt 9a ist für 1< a< 10 eine zweistellige Zahl, wobei der Zehner a – 1 ist und der Einer 10 – a. Wenn a = 1 ist, ist der Zehner a – 1 = 0, also ist die Zahl einstellig.

Wir setzen 9a = 10 (a – 1) + 10 – a in die Gleichung ein und beginnen ganz rechts, die Zehnerpotenzen neu zu sortieren. Als Einer bleibt dort 10 – a stehen, der Term (a  –1) × 10 rutscht nach links zu den Zehnern und wird dort zu a – 1. Bei den Zehnern steht nun ebenfalls 10 (a – 1) + 10 – a, wobei 10 (a – 1) zu den Hundertern rutscht und dort zu a – 1 wird. Vor der 10 steht 10 – a plus der von den Einern hinübergerutschte Term a – 1. Die Summe aus beiden ergibt 9! Und so verhält es sich auch bei allen übrigen Zehnerpotenzen links daneben – überall summieren sich 10 – a und a – 1 zu 9. Aus dem Ausdruck ganz links 9a × 10ⁿ wird so ebenfalls eine 9, zusätzlich ist aber eine neue Zehnerpotenz entstanden, und zwar (a – 1) × 10^n + 1. Fassen wir zusammen: Das Ergebnis hat n + 2 Stellen. Die erste ist a – 1, dann folgen n Neunen und schließlich der Einer 10 – a. Weil a – 1 und 10 – a genau Zehner und Einer des Produkts 9a sind, haben wir den Rechentrick somit bewiesen.

Aufgabe 6 * 

Die Seite eines Rechtecks wird um 50 Prozent verlängert. Um welche Prozentzahl müssen Sie die andere Seite verkürzen, damit sich die Fläche des Rechtecks nicht ändert?

Für die Fläche des Rechtecks gilt die Formel A = a × b. Wenn wir a um 50 Prozent verlängern, ist die Seite 1,5 × a lang. b muss dann auf die Länge b/1,5 verkürzt werden, damit die Fläche unverändert bleibt. Ihre Länge ist 66,7 Prozent der ursprünglichen Länge, also wird sie um 33,3 Prozent oder 1/3 gekürzt.

Aufgabe 7 ** 

Wie groß ist der Innenwinkel in einem regelmäßigen n-Eck?

Wenn wir den Mittelpunkt des n-Ecks mit jedem seiner n Ecken verbinden, erhalten wir n gleichschenklige Dreiecke. Der Winkel in der Spitze ist 360°/n. Die beiden gleich großen Winkel an der Basis jedes dieser gleichschenkligen Dreiecke sind zusammen so groß wie der gesuchte Innenwinkel. Weil die Winkel im Dreieck zusammen 180° ergeben, ist der Innenwinkel im regelmäßigen n-Eck 180°–360°/n groß.

Aufgabe 8 ** 

Die Zeiger der Uhr zeigen die Zeit 16.20 Uhr an. Wie groß ist der Winkel zwischen großem und kleinem Zeiger in diesem Moment?

In 20 Minuten schafft der große Zeiger ein Drittel der 360-Grad-Runde, also steht er beim Winkel von 120 Grad. Der kleine Zeiger schafft pro Stunde ein Zwölftel der Runde, pro Stunde sind das 30 Grad. Um 16 Uhr hat er seit 12 Uhr 120 Grad zurückgelegt, bis 16.20 Uhr kommt noch ein Drittel von 30 Grad hinzu = 10 Grad. 130 – 120 = 10 Grad – das ist der gesuchte Winkel.

Aufgabe 9 *** 

Über jeder Seite eines Quadrats wird nach außen ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert. Die Fläche jedes dieser Dreiecke soll genauso groß sein wie die Fläche des Quadrats. Wie groß ist der Abstand von zwei gegenüberliegenden Spitzen des vierzackigen Sterns?

Das Quadrat hat die Seitenlänge a und die Fläche a². Die Fläche des konstruierten Dreiecks mit der Höhe h beträgt ah/2. Also muss h = 2a sein. Der Abstand zweier gegenüberliegender Spitzen ist deshalb 5a.

      

Aufgabe 10 **** 

Gegeben ist ein Winkel mit der Größe von 63 Grad. Dritteln Sie diesen Winkel allein mithilfe von Zirkel und Lineal. Sie dürfen das Papier nicht falten.

Wir konstruieren im Scheitelpunkt des gegebenen Winkels ein gleichseitiges Dreieck, sodass ein Eckpunkt des Dreiecks mit dem Scheitelpunkt zusammenfällt und eine Seite auf dem Schenkel des Winkels liegt. Der Winkel im gleichseitigen Dreieck ist 60 Grad groß, der Winkel zwischen der Dreiecksseite und dem zweiten Schenkel des zu drittelnden Winkels beträgt dann 63 – 60 = 3 Grad.

      

Diese 3 Grad tragen wir noch zweimal außen an den Schenkel an und erhalten somit einen Gesamtwinkel von 63 + 2 × 3 = 69 Grad. Die Differenz zu 90 Grad ist genau die gesuchte Winkelgröße von 21 Grad. Wir müssen also nur noch die Senkrechte über dem unteren Schenkel durch den Scheitelpunkt des Winkels errichten und sind fertig.

Aufgabe 11 * 

Woran erkennen Sie, ob eine Zahl durch 16 teilbar ist?

Ich brauche nur die letzten vier Stellen anzuschauen, denn 10.000 und damit auch alle Vielfachen davon sind immer durch 16 teilbar (10.000 = 16 × 625).

Aufgabe 12 ** 

Welche der folgenden Zahlen ist durch 55 teilbar?

3938

2512895

4541680

3938 endet nicht auf 5 und kann deshalb nicht durch 55 = 5 × 11 teilbar sein.

2512895 ist durch 5 teilbar und durch 11, denn die alternierende Quersumme 2 – 5 + 1 – 2 + 8 – 9 + 5 ist 0. Damit ist die Zahl auch durch 55 teilbar.

4541680 ist durch 5 teilbar und durch 11 (alternierende Quersumme = 4 – 5 + 4 – 1 + 6 – 8 + 0 = 0), damit auch durch 55.

Aufgabe 13 ** 

Ist eine der folgenden Zahlen durch 7, 11 oder 13 teilbar?

15575

258262

24336

65912

22221111

Zur Lösung nutzen wir die 1001-Methode.

560 ist durch 7 teilbar (7 × 80 = 560), aber weder durch 11 noch durch 13.

258262 ist kein Vielfaches von 7, 11 und 13.

7 und 11 sind keine Teiler, dafür aber die 13 (13 × 24 = 312).

7 und 11 sind Teiler, aber nicht 13.

22221111 ist durch 11, jedoch nicht durch 7 und 13 teilbar.

Aufgabe 14 ** 

m und n sind natürliche Zahlen. Zeigen Sie: Wenn 100m + n durch 7 teilbar ist, dann ist auch m + 4n durch 7 teilbar.

Wir schreiben 100m + n = 7k (k = natürliche Zahl). Das stellen wir nach n um, n = 7k – 100m und setzen es in den Ausdruck m + 4n ein:

Sowohl 28 (7 × 4) als auch 399 (7 × 57) sind Vielfache von 7, also ist auch m + 4n durch 7 teilbar.

Aufgabe 15 **** 

Finden Sie die kleinste Primzahl, die beim Teilen durch 5, 7 und 11 jeweils den Rest 1 lässt!

Weil 5, 7 und 11 teilerfremd sind, muss die Primzahl die Form p = 5 × 7 × 11 × n + 1 = 385n + 1 haben (n = natürliche Zahl). Außerdem lässt sich jede Primzahl größer als 3 in der Form 6m + 1 oder 6m + 5 schreiben (m = natürliche Zahl). Nehmen wir zunächst an, die Primzahl hat die Form 6m + 5. Es gilt

Weil 385 ungerade ist, 6m + 4 aber gerade, muss n eine gerade Zahl sein.

Nun zum Fall Primzahl = 6m + 1:

Auch in diesem Fall muss n eine gerade Zahl sein. Wir setzen also n = 2k (k = natürliche Zahl), die gesuchte Primzahl hat die Form 385 × 2 k + 1 = 770 × k + 1. Nun probieren wir einfach aus, ob wir eine Primzahl finden, und setzen k = 1, 2, 3, 4, 5 ein. Wir erhalten 771, 1541, 2311, 3081 und 3851. 771 und 1541 sind keine Primzahlen, aber 2311 ist eine. Sie ist deshalb die gesuchte kleinste Primzahl, die beim Teilen durch 5, 7 und 11 jeweils den Rest 1 lässt.

Aufgabe 16 * 

Ein Clown hat Schnürsenkel und Krawatten in den Farben Gelb, Orange, Grün, Blau und Lila. Er möchte, dass die beiden Schnürsenkel verschiedenfarbig sind und auch die Krawatte eine andere Farbe hat als die Schnürsenkel. Wie viele Farbvarianten sind insgesamt möglich? Ein Tausch der Schnürsenkel von links nach rechts und umgekehrt soll als neue Farbvariante gelten.

Es sind 5 Farben. Für den ersten Schnürsenkel gibt es also 5 Varianten, für den zweiten Schnürsenkel noch 4 und für die Krawatte 3. Es gibt daher 5 × 4 × 3 = 60 Möglichkeiten.

Aufgabe 17 * 

a und b sind rationale Zahlen, beide sind größer als 2. Zeigen Sie, dass dann gilt ab > a + b !

Wir schreiben a in der Form a = 2 + s (s > 0) und b = 2 + t (t > 0). ab ist dann (2 + s) (2 + t)  = 4 + 2s + 2t + st. Für a + b erhalten wir 4 + s + t. Daraus folgt sofort ab > a + b.

Aufgabe 18 ** 

Sie haben einen Schuh mit 6 Lochpaaren. Der Abstand von Lochpaar zu Lochpaar beträgt 1 Zentimeter, der Abstand der linken zur rechten Lochreihe 2 Zentimeter. Sie wollen den Schuh klassisch über Kreuz schnüren. Wenn die beiden Enden des Schnürsenkels aus dem obersten Lochpaar mit je 15 Zentimetern herausragen sollen, wie lang muss dann der Schnürsenkel insgesamt sein?

Die Verbindung der beiden Löcher des untersten Lochpaares misst 2 Zentimeter. Dazu kommen wegen der insgesamt 6 Lochpaare genau 10 diagonale Verbindungen von einem Loch zum nächsthöheren Loch auf der gegenüberliegenden Seite.

    

Eine solche Diagonale hat nach dem Satz des Pythagoras die Länge . Die beiden offenen Enden messen zusammen 30 Zentimeter. Der Schnürsenkel ist deshalb cm lang.

Aufgabe 19 *** 

Die Abbildung zeigt 16 von insgesamt 42 Schnürvarianten, die bei 3 Lochpaaren möglich sind. Finden Sie die übrigen 26, die sich durch Spiegelung oder Drehung aus diesen 16 Varianten ergeben.

          

Quelle: Polster

Aus den 8 Varianten in der zweiten und dritten Reihe von oben ergeben sich durch einfache Spiegelung 8 weitere Varianten. Aus den 6 Schnürungen in der unteren Reihe kann man je 3 weitere konstruieren, also insgesamt 18.

Aufgabe 20 *** 

Gibt es ein Vieleck, das dreimal so viele Diagonalen hat wie Ecken?

Eine Diagonale ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit einem anderen Eckpunkt verbindet. Die Verbindungen zu den beiden benachbarten links und rechts liegenden Punkten sind Seiten des Vielecks und keine Diagonalen. Von jedem der n Punkte eines n-Ecks gehen deshalb n – 3 Diagonalen aus – die beiden Nachbarpunkte und den Punkt selbst müssen wir von n abziehen. Insgesamt hat ein n-Eck n(n – 3)/2 Diagonalen. Ohne den Quotienten 2 würden wir jede Diagonale doppelt zählen. Laut Aufgabe muss dann gelten n(n – 3)/2 = 3n. Das formen wir zu n² = 9n um. Für positive n gibt es dann nur eine Lösung: n = 9.

Aufgabe 21 * 

Ein Bösewicht hat ein Portemonnaie gestohlen. Darin stecken eine Geldkarte und eine Visitenkarte des Besitzers mit der handschriftlichen Notiz „Der Vater siebt Dukaten“. Es gelingt dem Dieb, mit der Karte Geld abzuheben. Wie hat er die Geheimnummer herausbekommen?

Der Satz „Der Vater siebt Dukaten“ kodiert über die Anfangsbuchstaben die 4 Ziffern der Geheimzahl. Dabei gilt: Der = 3, Vater = 4, Siebt = 7 und Dukaten = 3. Die Geheimzahl ist 3473.

Aufgabe 22 ** 

Sie fragen: „Wie lautet Ihre Telefonnummer?“ Der Gedächtniskünstler antwortet: „Ein Bett steht lichterloh brennend auf dem Damm. Das Feuer ist geformt wie eine Rose.“ Welche Nummer notieren Sie?

91 13 84 40. Nach dem Major-System steht Bett für 91, Damm für 13, Feuer für 84 und Rose für 40.

Aufgabe 23 ** 

Finden Sie alle Paare natürlicher Zahlen (a;b), welche die Gleichung 2a + 3b = 27 erfüllen.

Wir bringen 3b auf die andere Seite und klammern dort 3 aus.

a muss ein Vielfaches von 3 sein, also setzen wir a = 3n in die Gleichung ein und erhalten:

Lösungen gibt es nur für ungerade b, in Frage kommen 1, 3, 5, 7, 9. Daraus ergeben sich die Lösungspaare (12; 1), (9; 3), (6; 5), (3; 7) und (0; 9).

Aufgabe 24 ** 

Warum endet eine Quadratzahl niemals auf 7?

Wenn a eine beliebige natürliche Zahl > 0 ist und b eine einstellige natürliche Zahl, lässt sich jede natürliche Zahl in der Form 10a + b darstellen, wobei b der Einer dieser Zahl ist. Als Quadrat dieser Zahl ergibt sich 100a² + 20ab + b². Der Einer des Quadrats ist deshalb identisch mit dem Einer von b². Das Quadrat einstelliger Zahlen endet auf die Ziffern 0, 1, 4, 9, 6 oder 5 – deshalb kann eine Quadratzahl niemals auf 7 enden – und übrigens auch nicht auf 2, 3 oder 8.

Auf welche Ziffer eine Quadratzahl endet, hängt einzig und allein von der letzten Ziffer der Zahl ab, die man quadriert.

Aufgabe 25 *** 

Beweisen Sie, dass der halbe Umfang eines Dreiecks stets größer ist als jede seiner drei Seiten!

In einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite. Wir nehmen an, c ist die größte Seite. Dann gilt: a + b > c. Nun addieren wir auf beiden Seiten der Ungleichung c und teilen beide Seiten danach durch 2. Wir erhalten: (a + b + c)/2 > c. Damit haben wir gezeigt, dass der halbe Umfang größer ist als die größte Seite des Dreiecks. Also ist der halbe Umfang auch größer als die beiden anderen Seiten.

Aufgabe 26 * 

Zeigen Sie, dass die Trachtenberg-Regel für die Multiplikation mit 12 stets zum richtigen Ergebnis führt.

Wenn ich schriftlich mit 12 multipliziere, schreibe ich die Zahlen dreimal untereinander, aber davon eine um eine Stelle nach links versetzt. Beim Zusammenrechnen verdopple ich dann stets eine Ziffer und addiere dazu ihren rechten Nachbarn – das entspricht genau der Trachtenberg-Regel für die 12.

Aufgabe 27 ** 

Beweisen Sie, dass die Kreuzmultiplikation einer zweistelligen Zahl mit einer zweistelligen Zahl zum richtigen Ergebnis führt.

Die beiden Zahlen lauten ab und cd – a, b, c, d sind einstellige natürliche Zahlen. Dann ist das Produkt

Dies entspricht genau der Rechenregel für das Kreuzprodukt.

Aufgabe 28 *** 

Zeigen Sie, dass die Trachtenberg-Regel für Rechnungen mal 6 funktioniert: Nimm die Zahl plus die Hälfte ihres Nachbarn und addiere 5, falls die Zahl ungerade ist.

Wir zeigen die Gültigkeit der Regel an einer vierstelligen Zahl mit den Ziffern a, b, c, d. Der Trick besteht darin, die 6 in 5 + 1 zu zerlegen und die 5 noch mal als 1/2 × 10 zu schreiben. Wir rechnen:

Nun fassen wir die Faktoren vor gleichen Zehnerpotenzen zusammen:

Dies entspricht exakt dem ersten Teil der Regel. Woher aber kommt die 5, die wir addieren, wenn eine Zahl ungerade ist? Ganz einfach: Wenn beispielsweise d ungerade ist, nehmen wir von dem Ausdruck c + d/2 genau 1/2 weg, somit rechnen wir an dieser Stelle mit der ganzzahligen Hälfte von d. Das 1/2 hat jedoch wie c + d/2 den Faktor 10, also wird es zur 5 und rutscht von der Zehnerstelle zur Einerstelle nach rechts.

Aufgabe 29 **** 

Beweisen Sie die Trachtenberg-Regel für die Multiplikation mit 9. Rechts: Ziffer von 10 abziehen. Mitte: Ziffer von 9 abziehen plus Nachbar. Links: Nachbar minus 1.

Wir schreiben 9 = 10 – 1 und setzen dies in die Multiplikation mit der vierstelligen Zahl abcd ein:

Wir haben nun ein kleines Problem: In dem Produkt dürfen keine negativen Ziffern auftauchen, der Einer beispielsweise kann unmöglich –d lauten. Wenn a > b ist, wäre auch die Tausenderstelle des Ergebnisses negativ. Wir lösen das Problem, indem wir uns jeweils eine Position weiter links eine 1 borgen, die dann bei der Position rechts daneben zu einer 10 wird. Aus der 10d ganz rechts wird so 10(d – 1), und die dort weggenommene 10 schreiben wir vor –d (untere Zeile rechts) – aus 10d – d wird 10(d – 1) + 10 – d! Genauso formen wir die übrigen Terme um:

Wir sind so gut wie fertig – wir müssen nur noch die Faktoren vor den Zehnerpotenzen zusammenfassen:

Sie sehen: Die Trachtenberg-Methode basiert letztlich darauf, dass man Zahlen geschickt zerlegt und neu zusammenfasst.

Aufgabe 30 **** 

Beweisen Sie die Trachtenberg-Regel für Multiplikationen mit 8. Sie lautet: Rechts: Ziffer von 10 abziehen und verdoppeln.
Mitte: Ziffer von 9 abziehen und verdoppeln plus Nachbar.
Links: Nachbar minus 2.

Wir schreiben 8 = 10 – 2 und setzen dies in die Multiplikation mit der vierstelligen Zahl abcd ein:

Wir haben nun das gleiche Problem wie bei der 9 (Aufgabe 29): Negative Ziffern sind nicht erlaubt, der Einer beispielsweise kann unmöglich –2d lauten. Wir lösen das Problem, indem wir uns jeweils eine Position weiter links eine 2 borgen, die dann bei der Position rechts daneben zu einer 20 wird. Aus der 10d ganz rechts wird so 10 (d – 2) und die dort weggenommene 20 schreiben wir vor – 2d (untere Zeile). Genauso formen wir die übrigen Terme um:

Wir fassen die Faktoren vor den Zehnerpotenzen zusammen und sind fertig:

Aufgabe 31 ** 

Mit folgender Rechnung können Sie den Geburtstag einer Person herausfinden. Sie soll die Tageszahl ihres Geburtstages verdoppeln, 5 addieren und das Ergebnis mal 50 nehmen. Dazu muss sie dann die Monatszahl des Geburtstags addieren. Wenn Ihnen Ihr Gegenüber das Ergebnis der Rechnung nennt, können Sie sofort sagen, an welchem Tag und in welchem Monat dieser Geburtstag hat. Wie stellen Sie das an?

Wenn a, b, c und d einstellige natürliche Zahlen sind, dann lautet der Geburtstag 10a + b (Tageszahl) und 10c + d (Monatszahl). Wir rechnen:

Wenn wir davon 250 abziehen, erhalten wir eine höchstens vierstellige Zahl, bei der die ersten zwei Ziffern die Tageszahl und die letzten beiden die Monatszahl des Geburtstages sind.

Aufgabe 32 ** 

Sie denken sich eine Zahl aus, multiplizieren sie mit 37, addieren 17, multiplizieren das Ergebnis mit 27, addieren 7 und dividieren das Ergebnis durch 999. Als Rest der Division erhalten Sie immer 466. Warum?

      

Aufgabe 33 ** 

Denken Sie sich drei verschiedene Ziffern aus. Addieren Sie alle sechs zweistelligen Zahlen, die Sie aus je zwei der gewählten Ziffern bilden können. Das Ergebnis teilen Sie durch die Summe der drei gewählten Zahlen. Zeigen Sie, dass dabei stets 22 herauskommt.

Die Ziffern sind a, b, c. Dann gibt es die sechs Zahlen ab, ac, ba, bc, ca, cb. Ihre Summe lautet 10 × (2a + 2b + 2c) + 2a + 2b + 2c = 22(a + b + c). Die Summe geteilt durch a + b + c ergibt 22.

Aufgabe 34 ** 

Denken Sie sich zwei beliebige dreistellige Zahlen aus. Daraus bilden Sie zwei sechsstellige Zahlen, indem Sie die erste einmal vor die zweite und einmal dahinter schreiben. Berechnen Sie die Differenz beider Zahlen und teilen Sie das Ergebnis durch die Differenz der dreistelligen Ausgangszahlen. Heraus kommt immer 999. Warum?

Die beiden dreistelligen Zahlen sind a und b, wobei a > b ist. Die beiden sechsstelligen Zahlen lauten dann 1000a + b und 1000b + a. Ihre Differenz ist 999a  – 999b. Wenn wir diese Zahl durch a – b teilen, ergibt sich 999.

Aufgabe 35 **** 

Zwölf Kinder haben alle im selben Jahr Geburtstag, aber jedes in einem anderen Monat. Jedes Kind hat die Tageszahl mit der Monatszahl seines Geburtstags multipliziert. Beispiel: Wäre der Geburtstag der 8. April, käme als Produkt 8 × 4 = 32 heraus. Die Kinder nennen folgende Produkte: Nina 153, Helena 128, Nicolas 135, Max 81, Ruby 42, Hannah 14, Leo 300, Marlene 187, Adrian 130, Bela 52, Paul 3, Lilly 49. Wer hat wann Geburtstag?

Wir zerlegen jedes Produkt in seine Primfaktoren und schreiben alle damit möglichen Geburtstage auf. Wenn bei einem Kind nur ein Datum möglich ist, streichen wir bei allen anderen Kindern alle Daten aus demselben Monat. So schließen wir immer mehr mögliche Daten aus, bis nur noch eins pro Kind übrig bleibt.

Aufgabe 36 * 

In acht Kisten befindet sich die jeweils gleiche Menge Schrauben. Aus jeder Kiste werden 30 Schrauben entnommen. Danach sind in den acht Kisten noch genauso viele Schrauben wie anfangs in zwei Kisten. Wie viele Schrauben waren ursprünglich in einer Kiste?

Nach dem Herausnehmen der Schrauben hat sich die Menge auf ein Viertel reduziert. 8 × 30 = 240 Schrauben entsprechen deshalb 3/4 der ursprünglichen Schraubenmenge. Also gab es zu Beginn 320 Schrauben und pro Kiste 40.

Aufgabe 37 ** 

Welchen Rest lässt das Quadrat 303030303² beim Teilen durch 303030302?

Wir bezeichnen den Teiler 303030302 mit a, 303030303² entspricht dann (a + 1)² = a² + 2a + 1. Diese Zahl lässt beim Teilen durch a den Rest 1.

Aufgabe 38 *** 

In der Ebene sind zwei Punkte A und B gegeben. Können Sie allein mit einem Zirkel einen Punkt C konstruieren, der auf der Geraden liegt, die A und B verbindet?

Wir gehen zunächst vor, als wollten wir die Strecke AB halbieren. Wir nehmen eine Distanz mit dem Zirkel, die etwa so lang ist wie der Abstand zwischen A und B. Wir stechen mit dem Zirkel in den Punkt A und ziehen oberhalb und unterhalb der gedachten Verbindung je ein Kreissegment. Dies wiederholen wir am Punkt B, ohne die mit dem Zirkel genommene Distanz zu verändern.

      

Die Kreissegmente schneiden sich oberhalb und unterhalb der gedachten Verbindung, es gibt zwei Schnittpunkte. Nun vergrößern wir die Zirkelspanne etwas und ziehen um beide zuvor konstruierte Schnittpunkte je einen Kreis mit demselben Durchmesser. Diese beiden Kreise schneiden sich in den zwei Punkten C und D, beide liegen auf der Geraden, die durch A und B führt.

Aufgabe 39 *** 

Bei diesem Würfelspiel gelten andere Regeln: Fällt eine gerade Augenzahl, wird diese Zahl dem eigenen Konto gutgeschrieben. Bei ungerader Augenzahl werden die Punkte abgezogen. Ein Spieler würfelt fünfmal hintereinander, zwei Augenzahlen sind identisch, alle anderen voneinander verschieden. Schließlich heben sich Plus- und Minuspunkte genau auf. Welche Augenzahlen hat er gewürfelt?

Gewürfelt werden 4 verschiedene Augenzahlen, eine davon zweimal. Die Anzahl ungerader Würfelzahlen muss gerade sein, damit sie sich mit den wie auch immer zusammengesetzten geradzahligen Augenzahlen aufheben kann. Es gibt daher 3 Varianten:

1) Zweimal gleiche Augenzahl ungerade plus 3-mal verschiedene Augenzahlen gerade. Einzig möglich bei den geraden Augenzahlen ist 2 + 4 + 6 = 12. Dies kann auch mit 2 × (– 5) nicht aufgehoben werden, die Variante entfällt.

2) Zwei verschiedene Augenzahlen ungerade plus zwei verschiedene gerade, eine davon doppelt. Die einzig mögliche Lösung ist – 3, – 5, 2, 2, 4.

3) Drei verschiedene ungerade Augenzahlen, davon eine doppelt, plus eine Augenzahl gerade. Diese Variante entfällt, weil die Minuspunkte größer als 1 + 3 + 5 sind und von einer positiven Augenzahl nicht mehr aufgehoben werden können.

Aufgabe 40 **** 

5 verfeindete Mafiosi treffen sich um Mitternacht auf einem düsteren Platz, um die Waffen sprechen zu lassen. Sie stehen alle unterschiedlich weit voneinander entfernt. Jeder hat genau einen Schuss im Revolver und schießt Punkt null Uhr auf seinen nächsten Nachbarn und trifft ihn tödlich. Zeigen Sie, dass mindestens einer der Gangster überlebt!

Weil die Abstände der Mafiosi zueinander verschieden sind, gibt es 2 Männer, die den kürzesten Abstand zueinander haben. Diese schießen aufeinander und sind beide tot. Nun müssen wir 2 Fälle unterscheiden:

1) Keiner der 3 verbliebenen Mafiosi schießt auf einen der ersten beiden Gangster. Dann gibt es unter diesen 3 Männern 2, deren Abstand der geringste ist. Diese beiden erschießen sich gegenseitig, der dritte Mann überlebt.

2) Einer der beiden zuerst betrachteten Männer wird von mindestens einer weiteren Kugel getroffen. Dann bleiben für die 3 Männer höchstens noch 2 Kugeln übrig – also muss mindestens einer überleben.

Aufgabe 41 ** 

Sie bitten einen Zuschauer, eine beliebige vierstellige Zahl auf einen Zettel zu schreiben. Er wählt 3485. Sie schauen sich diese Zahl kurz an und notieren dann 23483 auf einen Zettel, den Sie niemandem zeigen und zusammengefaltet auf den Tisch legen. „Wir rechnen nun nach Ihren Vorgaben ein bisschen mit Ihrer Zahl“, sagen Sie, „aber ich weiß jetzt schon, was am Ende herauskommt.“ Der Zuschauer darf nun zwei weitere beliebige vierstellige Zahlen wählen – Sie ergänzen nach seiner Wahl jeweils eine von Ihnen gewählte vierstellige Zahl. Am Ende addieren Sie alle fünf Zahlen – und kommen genau auf 23483.

Beispielrechnung:

Wie funktioniert dieser Zahlentrick?

Wenn der Zuschauer seine zweite Zahl hingeschrieben hat, wählen Sie Ihre Zahl so, dass die Summe der beiden Zahlen 9999 ergibt. Dasselbe machen Sie auch bei der dritten Zahl. Bei 7852 lautet Ihre Wahl 2147, bei 4305 ist es 5694. Die Ziffern der beiden Zahlen ergeben in der Summe stets 9 und bei vier Ziffern daher 9999. Die Summe der fünf Zahlen ist daher stets: erste vom Zuschauer gewählte Zahl plus 2 × 9999 = Zahl + 20.000 – 2.

Aufgabe 42 ** 

Bitten Sie einen Zuschauer, zwei Würfel zu werfen. Sie drehen sich vorher um, denn Sie dürfen die Würfel nicht sehen. Nun soll der Zuschauer folgende kleine Rechnung ausführen: die geworfene Augenzahl des ersten Würfels verdoppeln und 5 hinzuaddieren. Das Ergebnis wird mit 5 multipliziert und dazu die Augenzahl des zweiten Würfels addiert. Lassen Sie sich das Ergebnis sagen – und Sie können sofort die beiden Augenzahlen nennen. Warum?

Die gewürfelten Augenzahlen sind a und b. Dann rechnet der Zuschauer: (2a + 5) × 5 + b = 10a + 25 + b. Wenn Sie vom Ergebnis seiner Rechnung 25 abziehen, erhalten Sie 10a + b. Weil a und b einstellige Zahlen sind, entsprechen Zehner und Einer genau den beiden gewürfelten Augenzahlen.

Aufgabe 43 *** 

Berechnen Sie die Summe der Quersummen aller Zahlen von 1 bis 100.

Die Summe der Quersummen von 1 bis 9 ist 45 (1 + 9 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 6 + 5). Von 10 bis 19 ist die Summe 45 (für die Einer) plus 10 × 1 (für die 1 der Zehnerstelle). Von 20 bis 29 erhalten wir 45 + 10 × 2 und so weiter. Von 90 bis 99 ergibt sich 45 + 10 × 9. Fehlt noch die 100, deren Quersumme ist 1. Die gesuchte Gesamtsumme ist deshalb 10 × 45 + 10 × (1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9) + 1 = 20 × 45 +1 = 901.

Aufgabe 44 *** 

In diesem Kapitel beschreibe ich Ihnen einen Zahlentrick mit der 11-stelligen Seriennummer von Euroscheinen. Die Seriennummer von Dollarnoten enthält aber nur 8 Ziffern. Wie müssen Sie den Trick für Euroscheine anpassen, damit er auch mit Dollarnoten funktioniert?

Sie lassen sich wie beim Trick mit Euroscheinen alle Paarquersummen nennen – es sind dann nur 7. Danach fragen Sie noch nach der Quersumme aus zweiter und letzter Ziffer, diese schreiben Sie als letzte in die Reihe der Quersummenpaare. Das erste Quersummenpaar ganz vorn ignorieren Sie bei der Berechnung der alternierenden Quersumme. Sie addieren also Quersumme 2 plus Quersumme 4 plus Quersumme 6 plus Quersumme 8 und ziehen davon die Quersummen 3, 5 und 7 ab. Die Hälfte des Ergebnisses liefert die zweite Ziffer der Seriennummer. Die übrigen Ziffern rechnen Sie dann genauso aus wie bei den Euro-Noten.

Aufgabe 45 *** 

Warum funktioniert der letzte in diesem Kapitel beschriebene Kartentrick?

Auf dem Tisch liegen offen die 3 gezogenen Karten. Wir nehmen die 3 Stapel auf – es sind insgesamt 52 – 3 = 49 Karten. Die gezogene Karte befindet sich an 11. Stelle von unten – von oben ist dies die Position 39. Die Karten auf dem Tisch haben die Werte a, b, c, die Werte liegen zwischen 1 und 13. Zu den Stapeln lege ich 13 – a, 13 – b und 13 – c Karten. Damit hat der ursprüngliche große Stapel 39 – a – b – c Karten weniger. Als Nächstes nehme ich von dem Stapel a + b + c Karten weg. Wenn ich die letzte Karte in die Hand nehme, habe ich von dem ursprünglichen Stapel aus 49 Karten insgesamt 39 – a – b – c + (a + b + c) = 39 Karten weggenommen. Die 39. Karte ist deshalb genau die gesuchte, vom Zuschauer anfangs gezogene Karte.