HOJA DE RUTA
LA CONCATENACIÓN Y
EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD
Si hay una concatenación expresable, valen los teoremas de Gödel.
En los capítulos que siguen daremos la demostración de los teoremas de Gödel. En vez de seguir la demostración original de Gödel de 1931, preferimos dar una versión alternativa a partir de ideas de W. V. O. Quine, en su trabajo de 1946 Concatenation as a Basis for Arithmetic [Quine]. En nuestro desarrollo hay también puntos de contacto con la exposición de Raymond Smullyan en su libro Gödel vs Incompleteness Theorems [Smullyan].
La demostración que daremos tiene (creemos) el mínimo posible de tecnicismos matemáticos. Pero nuestro propósito principal, al elegir este camino, es capturar el hecho fundamental detrás de la argumentación de Gödel: la posibilidad de definir en el lenguaje de la aritmética una operación de concatenación, que refleja la manera en que se unen los símbolos del lenguaje para formar palabras.
En realidad, como veremos en los capítulos 5 y 6, el Teorema de Gödel —tanto en su versión semántica como en su versión generalizada— puede demostrarse a partir de las siguientes dos hipótesis:
Hipótesis 1: Hay una concatenación expresable en el lenguaje de la aritmética.
Hipótesis 2: Toda propiedad recursiva es expresable en el lenguaje de la aritmética.
Pero en verdad, como probaremos en el capítulo 8, la segunda hipótesis se deduce de la primera. De modo que el hecho crucial que habilita toda la argumentación para formular y exhibir un enunciado indecidible es la posibilidad de definir una concatenación.
Si hay una concatenación expresable, valen los teoremas de Gödel.
La demostración seguirá la siguiente hoja de ruta:
En el capítulo 5 definiremos una concatenación muy simple sobre la base de dos símbolos y supondremos:
- Que esta concatenación es expresable en el lenguaje de la aritmética.
- Que toda propiedad recursiva es expresable en el lenguaje de la aritmética.
Bajo estas dos suposiciones daremos (en el mismo capítulo 5) la demostración de la versión semántica del Teorema de Gödel y (en el capítulo 6) la demostración de la versión general del Teorema de Gödel.
En el capítulo 7 probaremos que la concatenación propuesta verdaderamente es expresable en el lenguaje de la aritmética.
En el capítulo 8 probaremos que la condición 1 implica la condición 2. Mostraremos en realidad que toda propiedad recursiva puede expresarse a partir de la concatenación que hemos definido. Como esta concatenación es expresable en el lenguaje de la aritmética, también toda propiedad recursiva resulta expresable en el lenguaje de la aritmética. Esto terminará por completo la demostración de los teoremas de Gödel.
Finalmente, en el capítulo 9 damos una definición abstracta de la noción de concatenación que nos permitirá probar otros resultados de incompletitud para teorías muy diversas y no necesariamente relacionadas con la aritmética.