8. Resultados de la duplicación consecutiva
En la famosa leyenda en la que se habla de la recompensa concedida al inventor del ajedrez puede encontrarse un ejemplo demostrativo del rápido incremento que se obtiene al duplicar repetidamente un número por pequeño que sea. Sin detenerme en este paradigma clásico, me remitiré a otros menos conocidos [3].
Cada 27 horas, como término medio, el infusorio paramecio se parte en dos. Si todos los infusorios surgidos de esta suerte quedaran vivos, ¿cuánto tiempo sería necesario para que los descendientes de un paramecio llegaran a tener el volumen del Sol?
Los datos necesarios para este cálculo son: la generación Nº 40, si se conservan todas desde la primera, ocupa después de su desdoblamiento, un volumen igual a un metro cúbico. El volumen del Sol es de 1021 m3.
La tarea consiste en determinar cuántas veces 1 m3 debe multiplicarse por dos para llegar a 1027 m3
1027 = (103)9 ≈ (210)9 =290,
puesto que 210 ≈ 1 000.
De esta forma, la cuadragésima generación debe sufrir 90 nuevas divisiones sucesivas para alcanzar el volumen del Sol. El número total de generaciones, incluyendo la primera, es de
40 + 90= 130.
No ofrece dificultad alguna precisar que esto tiene lugar el día 147.
El microbiólogo Metalnikov observó 8 061 divisiones sucesivas del paramecio. Que calcule el propio lector el colosal volumen que tendría la última generación si no hubiera muerto ni uno solo de estos infusorios…
La cuestión examinada en este problema puede ser presentada, como si dijéramos, desde el lado opuesto.
Imaginémonos que se ha dividido el Sol en dos mitades, que una de estas mitades también se ha dividido en dos, etc. ¿Cuántas operaciones semejantes serían precisas para que resultara el tamaño de un infusorio?
Aunque el lector conoce ya la respuesta, 130, no por eso deja de asombrar lo reducido de este número.
A mí me fue planteado este problema en la siguiente forma:
Una hoja de papel es dividida en dos, y una de las mitades obtenidas es, a su vez, dividida por la mitad, etc. ¿Cuántas divisiones serían precisas para llegar a la dimensión del átomo?
Supongamos que la hoja de papel pesa 1 gramo y que tomamos 1/(1024) de gramo como peso del átomo. Como quiera que 1024 puede sustituirse por 280, de valor aproximado, se hace evidente que, se necesitan tan sólo unos 80 desdoblamientos, y no millones, como se contesta con frecuencia cuando se da a conocer este problema.