2. Una revisión en la tienda

Al revisar los libros de contabilidad de la tienda, uno de ellos apareció con borrones de tinta, presentando este aspecto:

Figura 11

No era posible descifrar el número de metros vendidos, pero no cabía duda de que éste no era un decimal. En el importe de la venta podían distinguirse sólo las tres últimas cifras y establecer que, delante de éstas, había otras tres. ¿Podía la comisión revisora averiguar qué cifras eran las del libro auxiliar, valiéndose tan sólo de estos datos?

Representemos el número de metros con la x y el importe de la venta, expresado en kopeks, con el número 4.936 x.

Las tres cifras cubiertas por el borrón las expresamos con una y. Esto, sin duda, expresa la cantidad de millares de kopeks; y toda la suma de kopeks será:

1.000y + 728.

Tenemos la ecuación 4.936x = 1.000y + 728.

Después de dividir los dos miembros de la igualdad por 8, resulta

617x - 125y = 91

En esta ecuación, los números x e y son enteros y, además, y no es superior a 999, por cuanto no puede tener más de tres cifras. Resolvamos la ecuación como indicamos antes:

125y = 617x - 91

y = 5x - 1 + (34 - 8x)/125 = 5x - 1 + 2(17 - 4x)/125 = 5x -1 + 2t

(Aquí hemos tomado 617/125 = 5 - 8/125, ya que nos conviene que haya el menor residuo posible). El quebrado

2(17- 4x)/125

es un número entero, y como 2 no se divide por 125, (17 - 4x)/125, debe ser un número entero, que representaremos con la t. Después, de la ecuación

(17 - 4x)/125 = t

se obtiene

17 - 4x = 125t

x = 4 - 31t + (1 - t)/4 = 4 - 31t + t₁

donde

t₁ = (1 - t)/4

por lo tanto

4t₁ = 1 - t

t = 1 - 4t₁

x = 125t₁ - 27

y = 617t₁ - 134 ^[1].

Se sabe que

100 y ‹1000

Por consiguiente

100 617t₁ - 134 ‹1000,

de donde

t₁ 234 / 617 y t₁ ‹1134 / 617

Es evidente que para t₁ existe solamente un valor entero: t₁ = 1, de donde x = 98, y = 483; es decir, fueron vendidos 98 metros por una suma total de 4.837 rublos 28 kopeks. El libro auxiliar, pues, ha sido restablecido.