SECCIÓN XV
RELATIVOS A LA TEORÍA MATEMÁTICA^[352]

1. ¿Por qué, de las líneas que dividen en dos partes 10las figuras rectilíneas, solo se llama diagonal^[353] la que se traza de ángulo a ángulo? ¿Es porque la diagonal divide en dos, como su nombre indica, sin destruir la figura medida? Así pues, la línea que divide desde las uniones (me refiero a los ángulos) será una diagonal: pues no destruye sino que divi15de, como los que reparten el bagaje militar. Sin embargo, la que corta desde las líneas las figuras compuestas, las destruye: pues la figura rectilínea está compuesta partiendo de los ángulos.

2. ¿Por qué se llama diámetros? ¿Es porque es la única que divide en dos? Así que, es como si se dijera dicháme20tros^[354]. Y ¿por qué, de las líneas que dividen en dos, es la única que se llama así? ¿Es porque es la única que divide por las uniones por donde la figura se dobla, mientras que las demás líneas dividen por los lados?

3. ¿Por qué todos los hombres, tanto extranjeros como griegos, cuentan hasta diez y no hasta otro número, por 25ejemplo: dos, tres, cuatro, cinco, y después repiten de nuevo uno y cinco, dos y cinco, como hacen con once y doce^[355]? ¿Y por qué no se paran más allá del diez y luego repiten desde allí? Pues cada uno de los números es el anterior más uno, dos, y así sucesivamente, pero cuentan poniendo el límite en diez. Desde luego, no es por azar pues parece que lo hacen todos y siempre: pues lo que se da siempre y en todas 30partes no es por azar sino algo natural. ¿Acaso porque el diez es un número perfecto^[356]? Pues posee todas las clases de números: par e impar, cuadrado y cúbico, lineal y plano, número primo y compuesto^[357]. ¿O es porque la decena es un principio? Pues uno más dos, más tres, más cuatro, hacen una decena^[358]. ¿O es porque los cuerpos en movimiento son 35nueve^[359]? ¿O porque en diez relaciones matemáticas se dan al cubo cuatro números que, según afirman los pitagóricos, son los que forman el todo? ¿O es porque todos los hombres tienen diez dedos? Así que, como tienen su número partí911acular de contadores, cuentan también las demás cosas según esta cantidad. Sólo una tribu de Tracia cuenta hasta cuatro, porque, como los niños, no son capaces de recordar mucho, ni tampoco tienen necesidad de una medida grande de nada.

54. ¿*** porque la Tierra es el centro^[360]? Pues las formas que se nos muestran son siempre las mismas. Y esto no parece que fuera así si no se observara desde el centro, sino que unas veces aparecerían triángulos, otras trapecios y otras, figuras de diferentes formas. La Tierra nos parecería el centro, si nos fuera posible contemplarla desde esos otros lugares. Al ser esférica la Tierra, el centro del universo y el 10de la Tierra será el mismo^[361]. Pero nosotros habitamos sobre la Tierra, de modo que no es desde el centro, sino que tales figuras celestes se nos muestran a una distancia de la mitad del diámetro. Así pues, ¿qué impedimento hay para que, si la distancia es mayor, la apariencia de las formas permanezca igual?

155. ¿Por qué, si el sol se traslada con movimiento uniforme, el crecimiento y disminución de las sombras no son los mismos durante el mismo periodo de tiempo? ¿Es porque son iguales los ángulos formados por los rayos del sol subtendidos por arcos iguales y con vértice en los objetos vistos? Si éstos son iguales, también lo son los que hacen los rayos al caer en el triángulo formado por el primer rayo, 20el objeto visto y su sombra. Y si los ángulos son iguales, es necesario que la línea más lejana del objeto visto sea mayor que la más cercana: eso lo sabemos.

Dividamos, entonces, la circunferencia en un número cualquiera de partes iguales, y que sea Θ el objeto que se ve. Pues bien, cuando el sol en la posición A, al caer sobre el objeto Θ, produzca una sombra en ΘΑ, es forzoso que el rayo 25caiga en A. Cuando el sol vaya a B, el rayo procedente de B caerá dentro de ΘΛ, y cuando se traslade de nuevo a r, igual: si no, una recta sería tangente a otra recta en dos puntos. Pues bien, ya que AB es igual a ΒΓ, también los ángulos subtendidos por estos arcos y con vértice en el punto Δ serán iguales: pues su vértice está en el centro. Si los ángulos por 30este lado de Δ son iguales, también lo son en el triángulo: pues se trata de ángulos opuestos por el vértice. De modo que, ya que el ángulo se divide en partes iguales, ΛΕ será mayor que EZ en la línea ΛΘ^[362]. Y de igual modo pasará con las demás sombras que produzcan los rayos a partir de la circunferencia.

Al mismo tiempo es evidente que por fuerza al mediodía la sombra es la más pequeña, y que los aumentos son entonces mínimos. Pues el sol del mediodía es el que está más 35encima de nosotros. Y se produce un calor sofocante por la causa mencionada, y porque no hay viento: pues cuando el sol dispersa el aire cerca de la tierra, se produce viento. Así pues, si se produce al mismo tiempo en ambos hemisferios, lógicamente a media noche y a mediodía no tendría que ha911bber viento.

6. ¿Por qué el sol, cuando pasa a través de cuadriláteros, no forma figuras rectilíneas sino círculos, por ejemplo 5en los cañizos? ¿Es porque la proyección de los rayos visuales es en forma de cono? La base del cono es un círculo, de modo que adonde caigan los rayos del sol, allí aparecen círculos. Si los rayos son rectos, es necesario también que la figura trazada por el sol esté delimitada por líneas rectas: 10efectivamente, cuando caen rectos sobre una línea recta, forman una figura rectilínea.

Con los rayos ocurre lo siguiente: caen sobre la línea recta del cañizo o de aquello a través de lo que brillan, y ellos son líneas rectas, de modo que la proyección será en línea recta. Sin embargo, por el hecho de ser débiles los rayos que parten de la vista hasta los extremos de las líneas 15rectas, no se ve lo que está en los ángulos. Toda la porción de línea recta que está contenida dentro del cono, produce la visión, pero el resto no la produce, sino que los rayos visuales caen sin que se perciba nada. De hecho, no vemos muchas cosas a las que alcanza nuestra vista, por ejemplo, lo que está en la oscuridad.

Similar a esto es también el hecho de que el cuadrilátero parezca un polígono, pero si está más lejos, parece un círcu20lo^[363]. Pues, al ser la proyección visual en forma de cono, si la figura se aleja, los rayos visuales que parten hasta los ángulos no ven porque son débiles y pocos, cuando la distancia aumenta; sin embargo, los rayos que caen en el me25dio, como están unidos y son fuertes, permanecen. Así que, si la figura está cerca, se pueden ver incluso las cosas que están en los ángulos, pero, si está lejos, no se puede.

Por eso precisamente, la línea curva alejada parece recta. También la luna al octavo día parece estar delimitada por líneas rectas, si los rayos visuales no caen sobre la superfi30cie sino sobre la línea que la limita. Y es que, cuando la circunferencia está cerca, la visión puede distinguir cuánto más cerca está una parte de la circunferencia que otra, pero, si está lejos, no distingue, sino que le parece todo igual. Por eso también, la línea parece recta.

7. ¿Por qué, siendo la luna esférica, vemos una línea 35recta cuando hay media luna? ¿Es porque la visión y la circunferencia que traza el sol al proyectarse sobre la luna están en el mismo plano^[364]? Cuando esto ocurre, el sol parece 912auna línea recta. Pues como es necesario que lo que proyecta los rayos visuales sobre la esfera vea un círculo, y la luna es esférica y el sol la ve, lo producido por el sol sería un círculo^[365]. Así que, cuando este^[366] surge del lado opuesto a nosotros, se muestra completo y parece luna llena; pero cuan5do se produce una variación por el cambio de posición del sol, su circunferencia queda bajo nuestro rayo visual, de modo que parece una línea recta^[367], pero la otra parte es redonda, porque es una media esfera que está situada del lado opuesto a nosotros, y eso es lo que se nos muestra como un semicírculo. Pues la luna está siempre frente a nuestra vista. 10Pero cuando el sol proyecta sus rayos sobre ella, no la vemos; y se llena de nuevo después del octavo día a contar desde el medio, porque el sol, según va avanzando, hace el círculo más inclinado hacia nosotros. Y estando así situado ante nuestra vista, el círculo resulta parecido a una sección de cono. Se muestra con forma creciente cuando el sol cam15bia de posición. Y es que cuando el disco del sol está en los puntos extremos, momento en el que se muestra la media luna, se ve la circunferencia del círculo. Pues todavía no está en línea recta con nuestra vista, sino que hay una desviación. Cuando esto ocurre y el círculo pasa a través de los mismos puntos, es forzoso que la luna tenga forma creciente. Pues una parte del círculo, que estaba antes del lado 20opuesto, está alineada directamente con nuestra vista, de modo que está privada de claridad. Entonces así también los extremos permanecen en la misma posición, de modo que necesariamente la luna aparece con forma creciente, más o menos dependiendo del movimiento del sol. Pues, a medida que el sol se desplaza, también el círculo al que dirige su luz 25gira, situándose en los mismos puntos: pues puede adoptar infinitas inclinaciones, si es que cabe trazar infinitos círculos máximos que pasen por los mismos puntos.

8. ¿Por qué el sol y la luna, siendo esféricos, parecen planos? ¿Es porque todas aquellas cosas cuya distancia es 30incierta, cuando están más o menos lejos, parecen en el mismo plano? De modo que también en el caso de un solo objeto que tiene partes, si no se diferencian por el color, forzosamente parecen estar las partes en el mismo plano. Y lo que está en el mismo plano necesariamente parece ser uniforme y plano.

359. ¿Por qué el sol, cuando sale y cuando se pone, produce sombras largas, pero que son menores según se va elevando, y son mínimas al mediodía? ¿Es porque, al salir, hará en primer lugar una sombra paralela a la tierra y que se extiende al infinito como algo desproporcionado^[368], y después la hará larga, pero cada vez menor porque la línea recta que parte del punto más alto cae siempre dentro^[369]?

Pongamos que AB es el gnomon^[370], y que el sol está en Γ 40y luego en Δ: el rayo que parte de Γ, o sea, la línea ΓZ, será más exterior que la línea ΔΕ. La línea BE es la sombra cuan912bdo el sol está más alto, y la línea BZ cuando está más bajo. La sombra es mínima cuanto más alto esté el sol y encima de nuestra cabeza.

10. ¿Por qué las sombras de la luna son mayores que 5las del sol, cuando su origen está en la misma perpendicular? ¿Es porque el sol está más alto que la luna? Entonces, es necesario que el rayo que procede de más arriba caiga dentro. Supongamos que el gnomon es ΑΔ, la luna B, y el sol Γ. Pues bien, el rayo procedente de la luna será BZ, de modo 10que la sombra será ΔΖ; el rayo procedente del sol será ΓΕ, de modo que su sombra será por fuerza menor: pues será ΔΕ^[371].

11. ¿Por qué en los eclipses del sol, si uno mira a través de un tamiz o de hojas, por ejemplo de plátano o de otro árbol de hoja ancha, o enlazando los dedos de una mano con los de otra, los rayos de sol sobre la tierra llegan a ser como 15lunas crecientes? ¿Es porque la luz, igual que cuando brilla a través de un agujero rectangular, aparece redonda y como un cono^[372]? La razón es que se forman dos conos, el que va del sol al agujero y el que va de allí a la tierra, y están unidos por el vértice. Así que, cuando en tales condiciones el rayo es cortado desde arriba por un círculo, habrá en el lado 20opuesto un creciente de luz sobre la tierra. Pues los rayos proceden del creciente de la circunferencia, y lo que hay entre los dedos y en los tamices son como agujeros: por eso es más visible que a través de agujeros grandes. Pero no ocurre esto con la luna, ni durante un eclipse ni estando en 25creciente ni en menguante, porque los rayos que proceden de los extremos no son nítidos, sino que brilla en el medio; y la forma creciente tiene el medio muy pequeño.

12. ¿Por qué no se produce un parhelio^[373] ni cuando el sol está en medio del cielo, ni por encima del sol, ni por debajo del sol, sino solo por los lados? ¿Es porque se produce un parhelio cuando hay una desviación del rayo visual hacia el sol, y el propio aire detenido sobre el que se refleja el ra30yo visual no podría estar ni cerca ni lejos del sol? Pues si está cerca, el sol lo disolverá, y si está lejos, el rayo visual no se reflejará: y es que, lanzado a lo lejos a partir de un espejo pequeño^[374], se debilita. Por eso tampoco se forma un halo^[375]. Efectivamente, en el caso de que esté del lado opues35to al sol y cerca, el sol lo disolverá, pero si está lejos, el rayo visual llegará muy disminuido. En cambio, si se encuentra a un lado, el espejo está a una distancia tal que el sol no lo disuelve y el rayo visual llega concentrado por marchar bajo la tierra. Pero no se forma bajo el sol porque, al estar cerca 40de la tierra, sería disuelto por el sol; y arriba, en medio del 913acielo, el rayo visual se dispersaría. Y, en general, tampoco se forma el parhelio por el lateral cuando el sol está en medio del cielo, porque el rayo visual, si es desplazado en exceso bajo la tierra, llegará reducido hasta el espejo, de modo que, al reflejarse, será muy débil^[376].

13. ¿Por qué el extremo de la sombra del sol parece 5temblar? Pues, desde luego, no es porque el sol se mueva: pues es imposible moverse en sentidos opuestos, y así es el temblor. Además, el cambio de posición es imperceptible, como lo es también el del propio sol. ¿O se debe al movimiento de lo que hay en el aire? Se les llama partículas 10de polvo. Y serán visibles en los rayos que pasan a través de las ventanas: pues se mueven incluso en la quietud del aire. Así que, como esas partículas están en continuo movimiento de la sombra a la luz y de la luz a la sombra, también el límite común entre la luz y la sombra parece moverse de forma similar. Pues estas motas de polvo, al cambiarse de un lado a otro, producen una especie de sombra aquí y luz allá. 15De forma que la sombra parece moverse, aunque no es ella la que se mueve así, sino las partículas.