4. Los terrenos de otra forma

Quizás, para Pajom fuera más rentable conseguir un terreno de forma diferente a un rectángulo, quizás triangular, pentagonal, cuadrada, etc.

Esta pregunta se estudia a la luz de las matemáticas; pero, por ciertas razones, no vamos a entrar en detalle, solo vamos a demostrar los resultados.

En primer lugar, podemos demostrar, que de todos cuadriláteros de igual perímetro, el cuadrado abarcará la máxima superficie. Por eso, si Pajom quisiera tener un terreno en forma de cuadrilátero, sin emplear ningún artificio, no podría alcanzar más de 100 verstas cuadradas (suponiendo que diariamente puede recorrer hasta 40 verstas).

En segundo lugar: Podemos demostrar, que el cuadrado tiene una superficie mayor que la de cualquier triángulo de igual perímetro.

Un triángulo equilátero con el mismo perímetro tiene cada lado de:

40/3 =13 1/3 verstas

Y de acuerdo con la fórmula:

(siendo S la superficie, y a el lado)

Tiene un área de:

Es decir, de menor superficie que el trapecio que recorrió Pajom. Más adelante se demuestra que (ver «El triángulo de mayor superficie»), de todos triángulos con igual perímetro, el triángulo equilátero tiene la mayor superficie. Además de esto, el triángulo de máxima superficie encierra un área menor que la que abarca el cuadrado, entonces todos los triángulos con idéntico perímetro al cuadrado, tienen menor superficie que éste.

Pero si vamos a comparar la superficie del cuadrado con la superficie del pentágono, del hexágono, etc. De idéntico perímetro, se llega a que: un pentágono regular tiene mayor superficie, un hexágono, un área aún mayor, etc. Es fácil comprobarlo, teniendo como ejemplo un hexágono regular. Con el perímetro de 40 verstas su es lado mide 40/6 verstas, y su superficie se calcula con la fórmula:

Y su valor es: 115 - 78

Conociendo y eligiendo un terreno con forma de hexágono regular, Pajom podría alcanzar la superficie de 115 verstas cuadradas, con el mismo esfuerzo, terreno cuya área sobrepasa en 115 - 78 verstas cuadradas, es decir, en 37 verstas cuadradas más, al lote que obtuvo, y en 15 verstas cuadradas más, que el terreno cuadrado (pero para lograrlo tendría que haber iniciado el recorrido con un instrumento goniométrico).

Con seis cerillas se necesita formar una figura con la mayor área posible.

Con seis cerillas podemos construir varias figuras distintas: un triángulo equilátero, un rectángulo, hexágonos irregulares y por fin - un hexágono regular. Un geómetra, sin comparar entre si, las superficies de estas figuras, sabe muy bien, que la figura que tiene la mayor superficie posible es el hexágono regular.