8. El producto de factores iguales

Se pueden analizar las tareas, a las que hemos venido dedicando el tiempo, desde el punto de vista de la economía: el consumo (por ejemplo, el mínimo esfuerzo realizado al caminar 40 verstas), y ¿cómo conseguir el máximo resultado (abarcando el terreno más grande posible)? De aquí surge el título de esta parte de la presente obra: «Economía geométrica». Pero esta referencia resulta bastante prosaica; en matemáticas, los problemas que versan en torno al citado tema reciben otro nombre: Problemas sobre «máximos y mínimos».

Estos ejercicios varían según su orden de aplicaciones y nivel de dificultad. La mayor parte de estos problemas se soluciona únicamente mediante matemáticas superiores; sin embargo, algunos se pueden resolver mediante conocimientos elementales. A continuación vamos a analizar un par de problemas de este tipo, los que vamos a resolver, empleando una curiosa propiedad, la igualdad de los factores.

Ya conocemos esta propiedad en aquellos casos en los que se tienen dos factores. Sabemos, que la superficie del cuadrado es mayor que la superficie de cualquier rectángulo de igual perímetro. Si traducimos esta situación geométrica a la lengua aritmética, significa lo siguiente: Cuando se requiere dividir un número en dos partes, de modo que su producto alcance el máximo valor posible, se debe dividir dicho número a la mitad. Así, por ejemplo, la suma de los factores de todos los productos:

13 x 17

16 x 14

12 x 18

11 x 19

10 x 20

15 x 15

etc., es 30; el máximo producto será 15 x 15, aún teniendo en cuenta los productos entre números fraccionarios (14 ½ x 15 ½, etc.).

Esta propiedad también es válida para productos de tres factores, cuya suma sea constante:

Su producto alcanza el máximo valor, cuando los factores son equivalentes entre sí.

Esto se deduce de lo antedicho. Sean tres factores x , y , z , cuya suma es a :

x + y + z = a.

Supongamos, que x e y no son iguales entre sí. Si reemplazamos cada uno de ellos por la semisuma:

entonces la suma de los factores no cambiará:

De acuerdo con lo anterior:

Entonces el producto de tres factores:

es mayor que el producto de xyz :

en general, si el producto xyz , tiene al menos uno de los factores de diferente valor, siempre se pueden encontrar tres números, que sin variar el total, den el máximo producto, de xyz . Y esto solo es posible cuando los tres factores son iguales. Por lo tanto, para x + y + z = a , se tendrá el producto máximo xyz cuando:

x = y = z

Emplearemos esta propiedad de factores iguales, para resolver problemas muy interesantes.