2. Números aproximados

A quien desconozca las reglas de las operaciones con los números aproximados, probablemente le será interesante ponerse al corriente de ellas brevemente, tanto más que el conocimiento de estos sencillos métodos se muestra prácticamente útil, economizando trabajo y tiempo en los cálculos.

Aclaremos, ante todo, qué es un "número aproximado" y de dónde se obtienen tales números.

Los datos que intervienen en los cálculos técnicos, se obtienen efectuando mediciones. Pero ninguna medición se puede efectuar con exactitud absoluta. En principio, inclusive las propias medidas que se emplean para efectuar las mediciones, habitualmente encierran en sí un error.

Fabricar reglas métricas, pesas de kilogramos, botellas de litro es una tarea bastante difícil, y la ley admite en su fabricación un cierto error. Por ejemplo, en la fabricación de una regla métrica, por ley, se admite un error hasta de un milímetro; para una cadena o cinta decamétrica para agrimensura hasta 1 centímetro; para una pesa de un kilogramo, hasta 1 gramo; (Además del error en las pesas, la ley admite también el error en la balanza, que alcanza hasta 1 gramo por cada kilogramo de carga pesada.) para juegos de pesas pequeñas, de 1 gramo, hasta, 0,01 de gramo; para una botella de un litro, hasta 5 cm3.

Además, al realizar la medición, también se introducen errores. Supóngase que se mide una distancia cualquiera, por ejemplo, el ancho de una calle. Supongamos que el ancho de dicha calle abarca un poco más de 13 metros. Se puede decir que el ancho de la calle es de unos 13 metros; sin embargo, su ancho real es de 13 metros y una fracción de metro, que puede ser del orden de decimales, centesimales, etc., que no se tuvo en cuenta.

Por consiguiente, el resultado de nuestra medición se puede expresar así:

anchura de la calle = 13,??? metros,

en donde los signos de interrogación denotan cifras desconocidas, de fracciones decimales, centesimales, etc.

Si se deseara medir la anchura de la calle con mayor precisión, se sabe cuántos decímetros (décimas partes de un metro) contiene la parte restante que corresponde a una fracción del metro. Supongamos que contenga 8 decímetros y que aún exista cierto residuo menor que un decímetro. El resultado de la nueva medición, 13,8 m, será más exacta que la anterior, pero tampoco será totalmente exacta, porque además de las 8 décimas de metro, el ancho de la calle contiene aún cierto número desconocido de centesimales, milesimales, etc. del metro. Por consiguiente, podemos expresar así el resultado más exacto obtenido ahora

13,8?? metros.

En una medición más precisa se tienen en cuenta las centésimas del metro (centímetros), en la fracción restante; pero se desprecia la fracción inferior a un centímetro; en ese caso, tampoco este resultado será absolutamente exacto. Como no se efectúa la medición con absoluta precisión, no se puede afirmar que después de la última cifra obtenida, no se existan otras más.

Naturalmente, el resultado no se modifica en absoluto, en virtud de que al realizar una medición, las fracciones mayores que la mitad de la unidad de medida, habitualmente se aproximan a la unidad.

Si en la primera medición de la calle, no hubiéramos considerado su ancho de 13 metros, sino de 14, también se hubiera obtenido un resultado aproximado. Se le podría expresar en la siguiente forma

14,??? metros,

donde los signos de interrogación denotan cifras negativas (es decir, que indican en cuantas décimas, centésimas, etc., sobrepasa el número 14 al verdadero ancho de la calle).

Así, incluso el resultado de una medición metódica no se puede considerar totalmente exacto: expresa el valor real de forma aproximada. Tales números se llaman aproximados.

La aritmética de los números aproximados no coincide totalmente con la aritmética de los números exactos. Mostremos en un ejemplo esta diferencia.

Se requiere calcular el área de una sección rectangular, cuya longitud y anchura son respectivamente, 68 m y 42 m Si los números 68 y 42 fueran exactos, el área de la sección sería exactamente igual a

68 x 42 = 2856 m 2

Pero los números 68 y 42 no son exactos, sino aproximados: en la longitud no hay exactamente 68 m, sino un poco más o un poco menos, puesto que es poco probable que el metro esté comprendido en ella, exactamente 68 veces. También es poco probable que la propia longitud de la regla métrica sea igual a l m De acuerdo con esto, podemos expresar la longitud de la sección, en metros, así:

68,?

De igual forma, expresamos el ancho de la sección por

42,?

Realicemos ahora, la multiplicación de los números aproximados:

68,? X 42,?

Se evidencia la realización de la operación en el siguiente esquema

Vemos que la cuarta cifra (de izquierda a derecha) del resultado es desconocida: se obtiene sumando las tres cifras (? + 6 +?), de las cuales dos son desconocidas. La tercera cifra del resultado también es incierta: nosotros escribimos 5, pero al sumar los números de la columna? + 6 +?, se puede obtener un número mayor que 10 e inclusive que 20; en ese caso, en lugar de 5 puede resultar un 6 ó un 7. Las únicas cifras completamente válidas son las dos primeras de izquierda a derecha (cifras 2 y 8) del resultado. Por tal razón, siendo bastante metódicos, sólo debemos afirmar que el área buscada contiene cerca de 28 cientos de metros cuadrados. Desconocemos las decenas y las unidades en metros cuadrados, de dicha área.

Así pues, la respuesta correcta a la pregunta del problema es 2800, y los ceros no denotan aquí la ausencia, a ciencia cierta, de las unidades de los correspondientes órdenes, sino que indican que se desconocen estas. Dicho en otras palabras, los ceros denotan lo mismo que los signos de interrogación en las notaciones precedentes.

Es erróneo pensar que la respuesta 2856, obtenida conforme las reglas de la aritmética de los números exactos, es más precisa que la respuesta 2800, pues hemos visto que las últimas dos cifras (56) del resultado no se conocen con exactitud: no se puede garantizar su validez. Es preferible la respuesta 2800 y no la 2856, porque la primera no induce al error: indica que sólo son correctas las cifras 2, en el lugar de los millares, y 8, en el lugar de las centenas, y que se desconocen las cifras que les siguen. La repuesta 2856 es engañosa: induce a pensar que las últimas dos cifras son tan valederas, como lo son las dos primeras.

«Es poco ético escribir más cifras de las que se puedan avalar… Yo, con mucho pesar, reconozco que muchos de esos números que conducen a resultados erróneos, se encuentran en las mejores obras sobre las máquinas de vapor… Cuando yo estudiaba en el colegio, nos informaron que la distancia media de la Tierra al Sol es de 95 192 357 millas inglesas (Una milla inglesa es igual a 1852 m). Me sorprendí porque no indicaban cuántos pies y pulgadas más medía dicha distancia. Las mediciones actuales más exactas, afirman que esta distancia oscila entre 92,5 y 93 millones de millas» escribió a este propósito el matemático inglés Perri.

Así que, en los cálculos con números aproximados no es necesario tener en cuenta todas las cifras del resultado, sino solo algunas. Hablaremos especialmente sobre cuáles cifras conviene conservar en estos casos, y cuáles sustituir por ceros. En principio nos detendremos sobre la forma en que se debe redondear un número.