4. Supergigante y Superliliputiense

Nuestras charlas sobre los gigantes y los enanos del mundo de los números serían incompletas, si no hablásemos al lector sobre una maravilla sorprendente, no nueva, pero que vale por una docena de maravillas. Para llegar a ella, empecemos con lo un problema muy sencillo: ¿Cuál es el número más grande que se puede escribir con tres cifras, sin emplear ningún signo de operación?

Quizás quieran responder: 999, pero probablemente ustedes ya sospechen que la respuesta es otra; en efecto, la respuesta correcta se escribe así:

Esta expresión denota "nueve a la potencia novena, a la novena potencia" (En el lenguaje de la matemática, tal expresión se llama "tercera ultrapotencia de nueve"). En otras palabras: es necesario formar el producto de tantos nueves, como unidades halla en el resultado de la multiplicación:

9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9

Basta con principiar el cálculo, para apreciar el colosal resultado esperado. Si poseen la paciencia suficiente para efectuar la multiplicación de los nueve nueves, obtendrán el número 387 420 489.

Apenas comienza el trabajo principal: ahora es necesario hallar

9387 420 489

es decir, el producto de 387 420 489 nueves.

Hay que darse ánimo para efectuar, en números redondos, 400 millones de multiplicaciones…

Ustedes, naturalmente, no tendrán tiempo de llevar hasta el final semejante cálculo. Yo estoy privado de la posibilidad de comunicarles el resultado final, debido a tres causas que no puedo dejar de mencionar. En primer lugar, este número nunca ha sido calculado (sólo se conoce su valor aproximado). En segundo lugar, si se hubiera calculado, se necesitarían no menos de mil libros como éste para imprimirlo, debido a que nuestro número consta de

369 693 061 cifras,

escrito en caracteres ordinarios, tendría una longitud de 1000 km: ¡desde Leningrado hasta Gorki! (Fig. 58).

Finalmente, si yo tuviera suficiente cantidad de papel y tinta, tampoco podría satisfacer su curiosidad. Ustedes pueden imaginar fácilmente por qué: si yo estuviera capacitado para escribir en un segundo, sin interrupción, digamos que dos cifras, en una hora escribiría 7200 cifras, y en un día, trabajando sin interrupción día y noche, no más de 172800 cifras. De aquí se deduce que, si no separara ni un segundo de la pluma, trabajando 24 horas diarias sin reposo, yo permanecería sentado en mi puesto de trabajo, no menos de 7 años, antes de terminar de escribir este número…

Sobre este número, sólo puedo comunicarles a ustedes lo siguiente: empieza con las cifras

428 124 773 175 747 048 036 987 118

y termina en

89.

Figura 58. El número expresado por la potencia , consta de 370 millones de cifras. Si se escriben todas estas cifras en apretada hilera, se extenderían a lo largo de 1000 km, que es la distancia entre Leningrado (arriba) y Gorki (abajo)

Se desconoce lo que haya entre estas cifras del comienzo y del final (se calcularon las primeras cifras del número con ayuda de logaritmos, se determinaron las últimas cifras por razonamiento). ¡El número consta de 369 693 061 cifras!

Vemos que el número de cifras de nuestro resultado es inconcebiblemente grande. Ahora bien, ¿Qué tan grande es el número expresado por esta inmensa serie de cifras? Es difícil dar al menos una representación aproximada de su magnitud, porque tal conjunto de objetos, considerando inclusive cada electrón en calidad de un objeto por separado, ¡no existe en el Universo!

Arquímedes, antiguamente, calculó cuántos granos de arena contenía el Universo, si estuviera lleno de una finísima arena hasta las estrellas fijas. Obtuvo un resultado que no supera a la unidad con 63 ceros. Nuestro número no consta de 64, sino de 370 millones de cifras; por consiguiente, supera desmesuradamente al colosal número de Arquímedes.

Habiéndonos puesto en relación con este gigante enmascarado

dirijámonos a su contrario.

El correspondiente liliputiense numérico se obtiene si dividimos la unidad entre este número.

Tendremos

lo que es igual a

9^1/387420489

Aquí tenemos, en el denominador, un número colosal ya conocido por nosotros. El supergigante ha sido convertido en un superliliputiense.

Es necesario hacer una importante observación sobre el gigante de los tres nueves. Yo recibí cartas de los lectores afirmando que esta expresión no resulta difícil de calcular; varios lectores, inclusive realizaron el cálculo requerido, empleando en él un tiempo relativamente corto. El resultado se mostraba incomparablemente más sencillo que aquel sobre el cual yo había hablado. En efecto, ellos escribieron

9 9 = 387 420 489;

elevando 387 420 489 a la novena potencia, obtenemos un número se solo 72 cifras. Aunque no es un valor pequeño, alcanzar 370 millones de cifras a partir de él, aún resulta muy difícil…

Los lectores se confunden, su error consiste en que asimilan de forma incorrecta el sentido de la expresión "de tres niveles" de nueves. Ellos lo entienden así:

mientras que la interpretación correcta es otra:

De aquí la enorme diferencia en los resultados del cálculo.

Ambas interpretaciones conducen a idéntico resultado en un solo caso: cuando tenemos la expresión

Sin importar cómo se efectúe el cálculo, en ambos casos se obtiene el mismo resultado: 16.

Es curioso que la expresión ahora citada, no indica en absoluto cual es mayor número que se puede representar con tres doses. Se puede obtener un número mucho mayor que el anterior, si se disponen los doses así

2²²

Esta expresión es igual a

4 194 304

es decir, que es mucho mayor que dieciséis.

Como se ve, una disposición "de tres niveles" de cifras, no siempre expresa el mayor número que se pueda representar con tres cifras iguales. (Sobre esto se habla en detalle en "Álgebra Recreativa", Capítulo 1: "La quinta operación matemática", www.librosmaravillosos.com).