Der Satz von Bayes

Das Bayestheorem wird in vielen unterschiedlichen Lebensbereichen genutzt, von Spamfiltern bis hin zur Interpretation von Bluttests. Das Theorem zeigt, wie man die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse berechnet – für zwei Ereignisse A und B ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A für B die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B eingetreten ist. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit schreibt man P(A|B).

Der Satz von Bayes ermöglicht die Berechnung von P(A|B) aus den Wahrscheinlichkeiten individuell eingetretener Ereignisse (die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A schreibt man P(A), und die von B mit P(B)). Die umgekehrte Wahrscheinlichkeit, d.h. das B eintritt nachdem A eingetreten ist, kann ebenfalls berechnet werden und wird P(B|A) geschrieben.

Das Bayestheorem ist in Gleichung 42.1 zu sehen.

Gleichung 42.1. Satz von Bayes

Den Satz von Bayes versteht man am besten anhand eines Beispiels. Nehmen wir an, dass eine neue tödliche Krankheit entdeckt wurde, die einen von einer Million Menschen trifft. Wenn Sie die Krankheit haben, ist der Bluttest 100% genau (wenn Sie die Krankheit haben, ist der Bluttest positiv). Haben Sie die Krankheit nicht, dann schließt der Bluttest Sie zu 99.99% aus. Das bedeutet, dass es eine Chance von 0,01%, oder 1 zu 10000, gibt, das der Bluttest ein falsches Ergebnis liefert, wenn Sie die Krankheit nicht haben.

Soll man also den Test machen? Wie nützlich ist das Ergebnis des Tests?

Zuerst kann die Situation in zwei Ereignisse unterteilt werden. Wir nennen A das Ereignis, dass Sie gesund sind, und B das Ereignis eines positiven Testergebnisses. Was Sie wissen wollen ist »wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich gesund bin, wenn ich positiv getestet werde«? Wir schreiben dies P(A|B).

Das Bayestheorem zeigt, wie man das macht, indem es P(A), P(B) und P(B|A) ermittelt. P(A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gesund sind. Diese ist bekannt, da wir wissen, dass die Krankheit einen von einer Million Menschen trifft, d. h. P(A) liegt bei 99,9999%. P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gesund sind, wenn Sie positiv getestet werden. Diese liegt bei 0,01%.

Wir müssen also noch P(B) berechnen, die Wahrscheinlichkeit positiv getestet zu werden. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Krankheit haben und positiv getestet werden (100% × 0,0001%), plus die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Krankheit nicht haben und dennoch positiv getestet werden (99,9999% × 0.01%). P(B) liegt also bei 0,00100999% (was bedeutet, dass positive Tests nicht besonders oft vorkommen).

Kombiniert man diese Werte mit dem Bayestheorem, dann ergibt sich für P(A|B) ein Wert von 99,0098%. Wenn Sie also diesen »100% genauen« Test durchführen und positiv getestet werden, dann haben Sie eine Chance von über 99% nicht erkrankt zu sein.

Dieses nicht gerade intuitive Ergebnis erklärt sich dadurch, dass man die Wahrscheinlichkeit, gesund zu sein, vernachlässigt und sich auf die Verlässlichkeit des Tests konzentriert. Doch die kleine Zahl falscher Diagnosen wird zu einem wichtigen Aspekt, wenn eine Krankheit nur eine sehr, sehr kleine Anzahl von Menschen trifft.

Wenn Sie den Friedhof besuchen, können Sie sich die Zeit damit vertreiben, mit Hilfe des Bayestheorems die richtige Entscheidung für die folgende Situation zu treffen:

Sie stehen vor drei unbezeichneten Gräbern, von denen eines die Gebeine von Thomas Bayes enthält. Der Friedhofsverwalter, der weiß, wer in welchem Grab dieser liegt, fordert Sie auf, zufällig ein Grab auszuwählen. Sie entscheiden sich für ein Grab und er öffnet eines der beiden anderen, um Ihnen zu zeigen, dass dort nicht Thomas Bayes begraben ist. (Hätten Sie Bayes Grab gewählt, hätte der Friedhofsverwalter eines der beiden anderen zufällig ausgewählt und geöffnet.)

Der Verwalter fragt dann: »Wollen Sie bei dem von Ihnen ursprünglich gewählten Grab bleiben oder doch das andere nehmen«? Wie lautet die beste Strategie, um Thomas Bayes tatsächliches Grab zu finden?^[1]