Bestimmung der Energieniveaus

Wie bereits erwähnt, spielen die Randbedingungen bei der Bestimmung der Wellenfunktion und der Energieniveaus eine wichtige Rolle. Sie hängen immer von der jeweiligen Aufgabenstellung ab. In diesem Fall besagt die allgemeine Randbedingung einer unendlich hohen Potentialschwelle, dass ψ|_Schwelle = 0 ist. Das bedeutet, in diesem Fall muss gelten:

ψ(0) = 0

ψ(a) = 0

Aus der Tatsache, dass ψ(0) = 0 ist, folgt, dass B gleich 0 sein muss, da cos(0) = 1. Und ψ(a) = 0 bedeutet, dass ψ(a) = A sin(ka) = 0. Da der Sinus gleich 0 ist, wenn sein Argument ein Vielfaches von π ist, ergibt sich:

Man beachte, dass auch n = 0 mathematisch eine Lösung ist; dann wäre aber ψ(x) = 0 und das ist keine physikalisch sinnvolle Lösung. Die physikalische Lösung beginnt mit n = 1.

Die obige Gleichung kann auch wie folgt geschrieben werden:

Da k² = 2mE/², ergibt sich die folgende Gleichung, wobei n = 1, 2, 3, ... ist – das sind die erlaubten Energiezustände. Dies sind quantisierte Zustände, die zu den Quantenzahlen 1, 2, 3, ... gehören:

Man beachte, dass der erste physikalische Zustand n = 1 entspricht, sodass man folgende Gleichung erhält:

Das ist der niedrigste physikalische Zustand, den das Teilchen einnehmen kann. Man kann sich nun den Spaß machen, ein paar Zahlen in die Gleichung einzusetzen. Angenommen, man hat ein Elektron mit der Masse 9,11 × 10^–31 kg, das in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf eingeschlossen ist, dessen Breite in der Größenordnung des Bohr'schen Radiuses (der durchschnittliche Radius der Elektronenbahn im Wasserstoffatom) von 10^–10 m liegt.

Die Energie des Grundzustands ist gegeben durch:

Somit folgt:

Das ist eine sehr kleine Zahl, ungefähr 37 Elektronenvolt (eV: die Menge an Energie, die ein Elektron gewinnt, wenn es 1 V durchläuft). Sie ist in der gleichen Größenordnung wie die Energie eines Elektrons im Grundzustand eines Wasserstoffatoms (13,6 eV) – Sie befinden sich nun also tatsächlich im Spielpark der Quantenphysik.