Das Wichtigste von Kapitel 4 noch einmal in Kürze

Die erste und wichtigste Aufgabe dieses Kapitels bestand darin, Sie mit der Schrödinger-Gleichung vertraut zu machen und Ihnen die Möglichkeit zu geben, sich im Umgang mit dieser grundlegenden Gleichung der Quantenmechanik zu üben. Aus diesem Grund wurden zunächst einfache physikalische Systeme untersucht, wie sie Potentialtöpfe, -stufen und -barrieren darstellen. Der Lösungsweg, den Sie dabei gegangen sind, wiederholt sich im Prinzip bei allen quantenmechanischen Problemstellungen.

An erster Stelle steht immer das Aufstellen der Schrödinger-Gleichung:

In diesem Kapitel bestand Ihre Aufgabe vor allem darin, diese Differentialgleichung für verschiedene Potentiale V(r) zu lösen. Wenn man die Wellenfunktion ψ(r) bestimmt hat, die die Schrödinger-Gleichung für das jeweilige Potential erfüllt, kann man sowohl die erlaubten Energiezustände eines physikalischen Systems angeben als auch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es sich in einem bestimmten Zustand befindet.

Bei der Lösung der Gleichung müssen unbedingt die Randbedingungen beachtet werden; sie haben fast ausnahmlos einen großen Einfluss auf die Lösung. In den in diesem Kapitel betrachteten Fällen wurden die Randbedingungen durch den Verlauf des Potentials gegeben.

Die Wellenfunktion zu lösen bedeutet, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zu lösen. In diesem Kapitel zeigt sich, dass dies für einfache Systeme wie Potentialtöpfe, -stufen und -barrieren nicht sehr schwierig ist.

Wie bereits in Kapitel 2 erläutert wurde, muss sicher gestellt werden, dass sich ein Quantenteilchen zu jeder Zeit irgendwo im Raum aufhält. Das bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten |ψ(x)|² dx, ein Teilchen zwischen x und dx zu finden, zu 1 summieren müssen, wenn man über den gesamten betrachteten Bereich integriert. Daher muss die Wellenfunktion des Teilchens die Normierungsbedingung erfüllen:

In diesem Kapitel wurde bereits anhand der ersten Problemstellung, der Untersuchung eines Teilchens in einem Potentialtopf, gezeigt, wie man mithilfe der Normierungsbedingung unbekannte Konstanten bestimmen kann.

Die Berechnung und Interpretation der erlaubten Energiezustände eines physikalischen Systems ist einer der zentralen Punkte bei der Untersuchung quantenmechanischer Probleme.

Darüber hinaus lassen sich die wichtigsten Ergebnisse dieses Kapitels folgendermaßen zusammen fassen.

In einem Potentialtopf sind die Energieniveaus quantisiert.

Betrachtet man eine Potentialstufe oder eine Potentialbarriere, so muss man zwischen zwei Fällen unterscheiden:

• Teilchenenergie oberhalb der Potentialstufe (E > V₀)

• Teilchenenergie unterhalb der Potentialstufe (E < V₀)

Man gibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen an einer Potentialstufe reflektiert oder transmittiert wird, in folgender Form an:

• Der Reflexionskoeffizient R beschreibt das Verhältnis von reflektierter Stromdichte zu einfallender Stromdichte:

• Der Transmissionskoeffizient T beschreibt das Verhältnis von transmittierter Stromdichte zu einfallender Stromdichte:

Der Tunneleffekt besagt, dass ein atomares Teilchen eine endliche Potentialbarriere auch dann überwinden kann, wenn seine Energie kleiner als die Höhe der Barriere ist. Eins der wichtigsten Anwendungsbeispiele des Tunneleffekts ist der Alpha-Zerfall von Atomkernen. Er spielt aber auch im sogenannten Rastertunnelmikroskop eine große Rolle (STM = Scanning Tunneling Microscope)