Der isotrope harmonische Oszillator
Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem kugelsymmetrischen harmonischen Oszillator in drei Dimensionen. Im Eindimensionalen lautet das Potential des harmonischen Oszillators:
wobei ω2 = k/m (k ist hier die Federkonstante; die Rückstellkraft des harmonischen Oszillators ist F = –kx). Man kann diese beiden Gleichungen ins Dreidimensionale übertragen, indem man x durch r ersetzt:
wobei ω2 =k/m ist. Da dieses Potential kugelsymmetrisch ist, hat die Wellenfunktion die folgende Form:
Jetzt muss noch die Radialfunktion Rnl(r) bestimmt werden; Ylm(θ, φ) sind die Kugelfunktionen.
Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung lautet:
Ersetzt man V(r) durch 
so erhält
man:
Die Lösung dieser Gleichung ist wirklich nicht einfach, und Sie haben nichts davon, wenn Sie sich durch die notwendige Mathematik quälen (Seiten über Seiten). Deshalb folgt hier die Lösung:
wobei gilt:
Die Funktionen 
sind die zugeordneten
Laguerre-Polynome:
Sind Sie jetzt froh, dass Sie sich nicht durch diese Mathematik arbeiten mussten? Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:
Okay, damit kennen Sie Rnl(r). Um die Wellenfunktion ψnlm (r, θ, φ) zu erhalten, muss man mit den Kugelfunktionen Ylm(θ, φ) multiplizieren:
Die ersten Wellenfunktionen für den isotropen harmonischen Oszillator in Kugelkoordinaten lauten:
Wie Sie hier gesehen haben, wird die Wellenfunktion sehr schnell sehr kompliziert, wenn man ein Potential betrachtet, das von r2 abhängt, wie hier beim harmonischen Oszillator.
Die Energie eines dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist quantisiert, und man kann für die Energieniveaus die folgende Formel ableiten:
Die Energieniveaus beginnen also bei 
und gehen dann
weiter mit 
und so weiter.