Die Lösung für ψ(r)

Die Schrödinger-Gleichung für ψ(r) liefert die Wellenfunktion für ein gedachtes Teilchen der Masse m (in der Praxis ist m » m_e und ψ(r) hat sehr große Ähnlichkeit mit ψ(r_e), sodass die Energie E_r ungefähr die Energie des Elektrons ist). Die Schrödinger-Gleichung für ψ(r) lautet:

Man kann die Lösung in einen radialen und einen winkelabhängigen Teil aufspalten (siehe Kapitel 8):

Der winkelabhängige Teil besteht aus den Kugelfunktionen Y_lm(θ, φ), er ist also bekannt. Jetzt muss man noch die Lösung für den radialen Teil R_nl(r) bestimmen. Die Schrödinger-Gleichung für den radialen Teil lautet:

Dabei ist r =|r|. Um diese Gleichung zu lösen, muss man zwei Fälle betrachten: In einem Fall ist r sehr klein und im anderen sehr groß. Fügt man beide Fälle zusammen, so erhält man eine erste Fassung der Lösung.