Das wichtigste von Kapitel 6 noch einmal in Kürze

In diesem Kapitel werden zunächst Drehimpulse im Allgemeinen behandelt. Dabei muss man berücksichtigen, dass die verschiedenen Drehimpulskomponenten nicht kommutieren und daher nicht gleichzeitig bestimmt werden können. Da jedoch L² skalar ist, gilt folgende Gleichung:

Demzufolge kann man L² und eine Komponente von L gleichzeitig bestimmen. Im Allgemeine wählt man L_z, so dass man die Eigenwerte der gemeinsamen Eigenfunktionen von L² und L_z ermitteln kann.

Im folgenden definiert man zwei neue Operatoren:

1. Erzeugungsoperator:

2. Vernichtungsoperator:

Anhand dieser Operatoren und ihrer algebraischen Eigenschaften werden dann die Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren im Allgemeinen bestimmt.

Im Anschluss an diese allgemeingültige Betrachtung werden die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses bestimmt. Man geht zunächst von der Ortsdarstellung von L_x, L_y und L_z aus:

Anschließend geht man aufgrund des engen Zusammenhangs mit Drehbewegungen zur Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in Kugelkoordinaten über. Um die sogenannten Kugelfunktionen Y_lm(θ, φ), die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses zu bestimmen, betrachtet man die Wirkung der Operatoren L² und L_z auf die Eigenzustände des Drehimpulses:

Somit müssen für die Kugelfunktionen folgende Gleichungen gelten:

Da L_z nur von θ abhängt, kann man an dieser Stelle einen Separationsansatz wählen und Y_lm(θ, φ) in zwei Teile aufspalten, so dass ein Teil nur von θ abhängt, der andere nur von φ:

Auf Grund der Separation von Y_lm(θ, φ) in zwei Teile ist es möglich, zunächst die Eigenfunktionen von L_z und anschließend auf Grundlage dieses Ergebnisses die Eigenfunktionen von L² zu bestimmen. Am Ende erhält man die vollständige Definition der normierten Kugelfunktionen, der gemeinsamen Eigenfunktionen der Operatoren L² und L_z des Bahndrehimpulses. Dabei sind die Quantenzahlen l und m auf ganzzahlige Werte beschränkt:

Die Quantenzahl l charakterisiert also den Bahndrehimpuls eines Teilchens und wird demzufolge Bahndrehimpulsquantenzahl oder auch Nebenquantenzahl genannt. Die Magnetquantenzahl m beschreibt dagegen die räumliche Orientierung des Bahndrehimpulses oder, genauer ausgedrückt, die Größe der z-Komponente in der Einheit . (Die Quantenzahlen werden in Kapitel 10, das sich mit dem Wasserstoffatom beschäftigt, in dem Abschnitt »Linien führen zu Orbitalen« ausführlich behandelt.)

Das Thema »Drehimpuls« wird im folgenden Kapitel mit der Untersuchung des intrinsischen Drehimpulses fortgesetzt, des Spins.