Die Schrödinger-Gleichung: Jetzt in 3D-Qualität!

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in einer Dimension (die Sie in den Kapiteln 3 und 4 benutzt haben, um die Wellenfunktion zu bestimmen) lautet:

Man kann sie für den dreidimensionalen Fall wie folgt verallgemeinern:

Verwendet man den Laplace-Operator, so kann man die Gleichung etwas übersichtlicher formulieren. Der Laplace-Operator lautet:

Wenn man den Laplace-Operator verwendet, so lautet die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung:

Um die Gleichung zu lösen, trennt man den zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion ab:

Im Folgenden ist ψ(x,y,z) die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung und E die Energie:

So weit, so gut. Aber jetzt sind Sie wohl gegen eine Wand gelaufen – da es im Allgemeinen nicht einfach ist, mit dem Ausdruck ∇² ψ(x,y,z) zu arbeiten, ist die aktuelle Gleichung tatsächlich nur schwer zu lösen.

Was können Sie also machen? Sie können zunächst den Fall betrachten, dass die Gleichung separierbar ist. Das heißt, Sie können die x-, y- und z-Abhängigkeit voneinander abspalten und die Lösungen für jede Dimension getrennt bestimmen. Im Fall der Trennung der Dimensionen ist das Potential V(x,y,z) also die Summe aus den Potentialen von x, y und z:

Jetzt kann man den Hamilton-Operator in der Gleichung

in die drei Hamilton-Operatoren H_x, H_y und H_z unterteilen:

Dabei ist:

Wenn man den Hamilton-Operator wie in der Gleichung aufteilt, so kann man auch die Wellenfunktion teilen, die diese Gleichung löst. Man kann sie in drei Teile separieren, einen für x, einen für y und einen für z:

Das macht das Leben deutlich einfacher, da man den Hamilton-Operator in drei Operatoren unterteilen kann, die aufsummiert werden:

Die Gesamtenergie E ist jetzt die Summe aus der x-Komponente, der y-Komponente und der z-Komponente der Energie:

Man erhält somit in drei Dimensionen drei unabhängige Schrödinger-Gleichungen:

Dieses System von unabhängigen Differentialgleichungen ist mit Sicherheit einfacher zu lösen als Sie haben also im Wesentlichen die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung in drei eindimensionale Schrödinger-Gleichungen verwandelt. Das macht das Lösen von 3D-Aufgaben schließlich möglich.