Algebraische Hilfsmittel

Sie haben im vorangegangenen Abschnitt einige neue Operatoren und wichtige Kommutatoren dieser Operatoren kennen gelernt, die im Folgenden noch einmal zusammengefasst werden.

Leiteroperatoren a und a^†: Diese beiden Operatoren machen es einfacher, das Energiespektrum zu berechnen, ohne dass man viel Arbeit für die Auflösung nach den aktuellen Eigenzuständen aufwenden muss. Mit anderen Worten, man kann durch das Betrachten der Energiedifferenz zwischen verschiedenen Eigenzuständen das gesamte Energiespektrum verstehen.
In der Literatur gibt es eine Vielzahl weiterer Begriffe für die Leiteroperatoren. In der deutschen Literatur verwendet man gewöhnlich folgende Bezeichnungen:

• Erzeugungsoperator a^† : Wie in dem Abschnitt ,,Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände des harmonischen Oszillators“ gezeigt wird, erhöht der Erzeugungsoperator das Energieniveau um ein Niveau. Wenn der harmonische Oszillator also im vierten Energieniveau ist, so hebt ihn der Erzeugungsoperator auf das fünfte Niveau an.

• Vernichtungsoperator a: Im selben Abschnitt wird auch gezeigt, dass der Vernichtungsoperator das Gegenteil bewirkt, er erniedrigt den Eigenzustand um ein Niveau.

In diesem Buch werden die Begriffe Leiteroperatoren und Erzeugungs-/Vernichtungs-operator gleichberechtigt nebeneinander verwendet.

Besetzungszahloperator N: Der Besetzungszahloperator N ist ein hermitescher Operator und hat daher reelle Eigenwerte, die Besetzungszahlen n. Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt wurde, lässt sich das Eigenwertproblem auf die Eigenwertgleichung des Besetzungszahloperators zurückführen:

Kommutator der Operatoren a und a^†:

Hamilton-Operator für den harmonischen Oszillator:

Aus den beiden vorangegangenen Gleichungen ergeben sich zwei weitere wichtige Vertauschungsrelationen: