Bestimmung der Streuamplitude

Um die Streuamplitude – und damit den differentiellen Wirkungsquerschnitt – eines spinlosen Teilchens zu bestimmen, muss man die Schrödinger-Gleichung lösen:

Diese lässt sich auch folgendermaßen formulieren:

Die Lösung dieser Differentialgleichung kann man als Summe aus einem homogenen und einem inhomogenen Anteil schreiben:

Die homogene Lösung erfüllt die Gleichung:

Die homogene Lösung ist eine ebene Welle; sie entspricht der einfallenden ebenen Welle:

Will man betrachten, was bei der Streuung passiert ist, so muss man die inhomogene Lösung finden. Das macht man mithilfe der Green'schen Funktion. Die Lösung von ist:

Dabei ist

Man kann diesen Ausdruck umformen:

Man kann diese Gleichung als Ausdruck der ankommenden und/oder der auslaufenden Welle lösen. Da das gestreute Teilchen eine auslaufende Welle ist, hat die Green'sche Funktion die folgende Form:

Sie wissen Folgendes:

Setzt man in diese Gleichung ein, so folgt:

Damit hat man für die Wellenfunktion ψ(r) eine Integralgleichung erhalten. Aber wie wollen Sie dieses Mordsding lösen? Natürlich, Sie können die Born'sche Näherung benutzen.