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Rechtwinklige Koordinaten: Lösen von Problemen in drei Dimensionen

In den Kapiteln 4 und 5 wurde die Schrödinger-Gleichung für charakteristische eindimensionale Potentiale gelöst. Auf diese Weise haben Sie sowohl einige typische Effekte der Quantenmechanik kennen gelernt als auch die Herangehensweise an ein quantenmechanisches Problem eingeübt.

In diesem sowie in den folgenden Kapiteln wird die Betrachtung auf die »reale Quantenwelt« ausgedehnt, die genau wie die klassische dreidimensional ist. Bevor Sie in Kapitel 9 Probleme bearbeiten, die sich viel einfacher lösen lassen, wenn man Kugelkoordinaten verwendet, werden in diesem Kapitel zunächst Aufgaben behandelt, die sich am besten in den herkömmlichen kartesischen Koordinaten lösen lassen. Das bedeutet, im folgenden werden die Ihnen bereits bekannten Beispiele eines freien Teilchens, eines Teilchens in einem rechtwinkligen Kastenpotential und in einem harmonischen Oszillator im dreidimensionalen Raum behandelt.

Bei der Lösung mehrdimensionaler Probleme spielt der Separationsansatz, den Sie bereits bei der Bestimmung der Eigenfunktionen des Drehimpulses in Kapitel 6 angewendet haben, eine entscheidende Rolle. Mithilfe des Separationsansatzes oder Produktansatzes kann man eine partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen oftmals einfach lösen. Dabei nimmt man an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form v(x, y) = Y(y) · X(x) darstellen lässt. Setzt man die separierten Funktionen bzw. ihre Ableitungen in die Ausgangsfunktion ein, erhält man eine Gleichung, die sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen aufspalten lässt. Diese löst man dann auf die bekannte Weise unter Verwendung der Randbedingungen.

Im folgenden Abschnitt wird erläutert, wie man die dreidimensionale Schrödinger-Glei-chung in kartesischen mithilfe des Separationsansatzes in drei unabhängige Schrödinger-Gleichungen aufspalten kann, je eine für jede Koordinate.